Polárny moment zotrvačnosti

Poznámka: V rôznych odboroch sa pojem moment zotrvačnosti používa na označenie rôznych momentov. Vo fyzike je moment zotrvačnosti striktne druhý moment hmotnosti vzhľadom na vzdialenosť od osi, ktorý charakterizuje uhlové zrýchlenie objektu v dôsledku pôsobiaceho krútiaceho momentu. V strojárstve (najmä strojárskom a stavebnom) sa moment zotrvačnosti bežne vzťahuje na druhý moment plochy. Pri čítaní polárneho momentu zotrvačnosti dbajte na to, aby ste si overili, že sa odkazuje na "polárny druhý moment plochy" a nie na moment zotrvačnosti. Polárny druhý moment plochy bude mať jednotky dĺžky na štvrtú mocninu (napr. m 4 {\displaystyle m^{4}} $m^{4}$ alebo i n 4 {\displaystyle in^{4}} $in^{4}$ ), zatiaľ čo moment zotrvačnosti je hmotnosť krát štvorec dĺžky (napr. k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}} $kg*m^{2}$ alebo l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}}). $lb*in^{2}$ ).

Polárny druhý moment plochy (označovaný aj ako "polárny moment zotrvačnosti") je mierou schopnosti objektu odolávať krúteniu v závislosti od jeho tvaru. Je to jeden z aspektov druhého momentu plochy, ktorý súvisí s vetou o kolmej osi, kde rovinný druhý moment plochy využíva tvar prierezu nosníka na opis jeho odolnosti voči deformácii (ohybu), keď je vystavený sile pôsobiacej v rovine rovnobežnej s jeho neutrálnou osou, polárny druhý moment plochy využíva tvar prierezu nosníka na opis jeho odolnosti voči deformácii (krúteniu), keď pôsobí moment (krútiaci moment) v rovine kolmej na neutrálnu os nosníka. Zatiaľ čo rovinný druhý moment plochy sa najčastejšie označuje písmenom I {\displaystyle I} , polárny druhý moment plochy sa najčastejšie označuje buď I z {\displaystyle I_{z}} $I_{z}$ alebo písmenom J {\displaystyle J} $J$ , v technických učebniciach.

Vypočítané hodnoty polárneho druhého momentu plochy sa najčastejšie používajú na opis odolnosti plného alebo dutého valcového hriadeľa voči krúteniu, ako je to v prípade nápravy alebo hnacieho hriadeľa vozidla. Pri použití na nevalcové nosníky alebo hriadele sa výpočty polárneho druhého momentu plochy stávajú chybnými v dôsledku deformácie hriadeľa/nosníka. V týchto prípadoch by sa mala použiť torzná konštanta, kde sa k výpočtu hodnoty pripočíta korekčná konštanta.

Polárny druhý moment plochy prenáša jednotky dĺžky na štvrtú mocninu ( L 4 {\displaystyle L^{4}} $L^{4}$ ); metre na štvrtú mocninu ( m 4 {\displaystyle m^{4}} $m^{4}$ ) v metrickej sústave jednotiek a palce na štvrtú mocninu ( i n 4 {\displaystyle in^{4}} $in^{4}$ ) v imperiálnej sústave jednotiek. Matematický vzorec na priamy výpočet je daný ako násobný integrál cez plochu útvaru, R {\displaystyle R} $R$ vo vzdialenosti ρ {\displaystyle \rho } $\rho$ od ľubovoľnej osi O {\displaystyle O} $O$ .

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$ .

V najjednoduchšej forme je polárny druhý moment plochy súčtom dvoch rovinných druhých momentov plochy, I x {\displaystyle I_{x}} $I_{x}$ a I y {\displaystyle I_{y}}. $I_{y}$ . Pomocou Pytagorovej vety vzdialenosť od osi O {\displaystyle O} $O$ , ρ {\displaystyle \rho } $\rho$ , možno rozdeliť na zložky x {\displaystyle x} $x$ a y {\displaystyle y} $y$ a zmenu plochy, d A {\displaystyle dA} $dA$ , rozdelenú na zložky x {\displaystyle x} $x$ a y {\displaystyle y} $y$ , d x {\displaystyle dx} $dx$ a d y {\displaystyle dy} $dy$ .

Vzhľadom na dva vzorce pre rovinné druhé momenty plochy:

I x = ∬ R x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy} $I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy$ a I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy} $I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

Vzťah k polárnemu druhému momentu plochy možno znázorniť takto:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy$

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

∴ J = I x + I y {\displaystyle \ teda J=I_{x}+I_{y}} $\therefore J=I_{x}+I_{y}$

V podstate platí, že s rastúcou veľkosťou polárneho druhého momentu plochy (t. j. veľký tvar prierezu objektu) bude potrebný väčší krútiaci moment na vyvolanie torznej deformácie objektu. Treba však poznamenať, že to nemá žiadny vplyv na torznú tuhosť, ktorú objektu poskytujú jeho materiály; polárny druhý moment plochy je jednoducho tuhosť, ktorú objektu poskytuje len jeho tvar. Torzná tuhosť, ktorú poskytujú vlastnosti materiálu, je známa ako modul pružnosti v šmyku, G {\displaystyle G} $G$ . Spojením týchto dvoch zložiek tuhosti možno vypočítať uhol skrútenia nosníka, θ {\displaystyle \theta } $\theta$ pomocou:

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}} $\theta ={\frac {Tl}{JG}}$

Kde T {\displaystyle T} $T$ je pôsobiaci moment (krútiaci moment) a l {\displaystyle l} $l$ je dĺžka nosníka. Ako sa ukázalo, vyššie krútiace momenty a dĺžky nosníka vedú k vyšším uhlovým výchylkám, pričom vyššie hodnoty polárneho druhého momentu plochy, J {\displaystyle J} $J$ a modulu pružnosti materiálu v šmyku G {\displaystyle G}. $G$ , znižuje potenciál uhlových výchyliek.

Schéma znázorňujúca spôsob výpočtu druhého polárneho momentu plochy ("polárny moment zotrvačnosti") pre ľubovoľný tvar plochy R okolo osi o, kde ρ je radiálna vzdialenosť k prvku dA.

Súvisiace stránky

Moment (fyzika)
Druhý moment plochy
Zoznam druhých momentov plochy pre štandardné tvary
Modul pružnosti v šmyku

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to moment zotrvačnosti vo fyzike?

Odpoveď: Vo fyzike je moment zotrvačnosti striktne druhý moment hmotnosti vzhľadom na vzdialenosť od osi, ktorý charakterizuje uhlové zrýchlenie objektu v dôsledku pôsobiaceho krútiaceho momentu.

Otázka: Na čo sa v technike vzťahuje druhý polárny moment plochy?

Odpoveď: V strojárstve (najmä strojárskom a stavebnom) sa moment zotrvačnosti bežne vzťahuje na druhý moment plochy. Pri čítaní polárneho momentu zotrvačnosti dbajte na to, aby ste si overili, že sa odkazuje na "polárny druhý moment plochy" a nie na moment zotrvačnosti. Polárny druhý moment plochy bude mať jednotky dĺžky na štvrtú mocninu (napr. m^4 alebo in^4).

Otázka: Ako sa vypočíta polárny druhý moment plochy?

Odpoveď: Matematický vzorec na priamy výpočet je daný ako násobný integrál cez plochu útvaru R vo vzdialenosti ρ od ľubovoľnej osi O. J_O=∬Rρ2dA. V najjednoduchšej forme je polárna sekunda