Moment zotrvačnosti ( I {\displaystyle I}I ), nazývaný aj "uhlová hmotnosť" (kg-m2 ), je zotrvačnosť rotujúceho telesa vzhľadom na jeho rotáciu.

Je to odpor rotujúceho telesa voči uhlovému zrýchleniu alebo spomaleniu, ktorý sa rovná súčinu hmotnosti a štvorca jeho kolmej vzdialenosti od osi otáčania.

Definícia a fyzikálny zmysel

Moment zotrvačnosti určuje, ako veľmi je teleso „odolné“ voči zmene svojho rotačného pohybu okolo určitej osi. Telesá s veľkým I potrebujú väčší krútiaci moment (moment sily), aby dosiahli rovnaké uhlové zrýchlenie ako telesá s malým I. Na rozdiel od hmotnosti pri translačnom pohybe, moment zotrvačnosti závisí nielen od rozdelenia hmoty, ale aj od polohy osi otáčania.

Všeobecné vzorce

Pre sústavu bodových hmotností platí diskrétny vzorec

I = Σ m_i r_i^2,

kde m_i sú jednotlivé hmotnosti a r_i ich kolm é vzdialenosti od osi otáčania.

Pre spojité rozdelenie hmoty sa používa integrál:

I = ∫ r^2 dm,

kde dm je element hmotnosti a r je vzdialenosť elementu od osi.

Jednotky a rozmer

SI jednotka momentu zotrvačnosti je kilogram meter štvorcový (kg·m2). Rozmerovo platí [I] = M L2.

Praktické vzorce (často používané telesá)

  • bodová hmotnosť m vo vzdialenosti r: I = m r2
  • tenký kruhový prstenec (obruč) hmotnosti m a polomeru R: I = m R2
  • tenký valec alebo disk (o osi súmernosti): I = 1/2 m R2
  • hollow (tenká) guľa: I = 2/3 m R2
  • plná guľa: I = 2/5 m R2
  • tenký homogénny prút dĺžky L, os priečne cez stred: I = 1/12 m L2
  • tenký homogénny prút dĺžky L, os priečne cez jeden koniec: I = 1/3 m L2

Steinerov (paralelný) teorém

Ak poznáte moment zotrvačnosti I_cm telesa vzhľadom na os prechádzajúcu jeho ťažiskom (stredom hmoty), potom moment vzhľadom na paralelnú os v odstupe d platí:

I = I_cm + m d^2,

čo je užitočné pri zostavovaní momentov pre zložité alebo posunuté osi.

Príklad výpočtu

Máme bodovú hmotnosť m = 2 kg vo vzdialenosti r = 0,5 m od osi. Potom

I = m r2 = 2 · (0,5)2 = 2 · 0,25 = 0,5 kg·m2.

Tipy pri počítaní

  • Správny výber osi je kľúčový — I závisí na osi otáčania.
  • Pre zložité telesá rozdeľte telo na jednoduchšie časti, vypočítajte I každej a sčítajte (využite Steinerov teorém, ak sú osi posunuté).
  • Pri integráloch používajte symetriu telesa (osi súmernosti často značne zjednodušujú integrál).