{\displaystyle [a,b]} Funkcia hustoty pravdepodobnosti (angl. probability density function, PDF) je základný pojem v teórii pravdepodobnosti a štatistike, ktorý popisuje, ako sa "hromadí" pravdepodobnosť v rôznych hodnotách spojitej náhodnej premennej. Formálne ju možno definovať ako funkciu f(x) takú, že pre každé merateľné množinu A je pravdepodobnosť, že premenná X nadobudne hodnotu v A, rovná integrálu f cez A. Tento prístup umožňuje pracovať s nekonečne mnohými možnými hodnotami, napríklad s výškou alebo hmotnosťou osôb.

Vlastnosti a matematická definícia

Funkcia hustoty pravdepodobnosti má niekoľko základných vlastností: f(x) >= 0 pre všetky x a celková pravdepodobnosť je jednotková, teda integrál f(x) cez celý definičný obor sa rovná 1. Vzťah medzi hustotou a distribuční funkciou F je daný integrálom: F(b) - F(a) = ∫_a^b f(x) dx. Hustotu typicky označujeme f_X alebo p_X a hovoríme, že X má spojité rozdelenie s touto hustotou. Keď je X spojitá, pravdepodobnosť presnej hodnoty P(X = x) je nula; príslušné pravdepodobnosti sa vždy počítajú ako integrály nad intervalmi.

Použitie a interpretácia

Hustota udáva "množstvo pravdepodobnosti" na jednotku dĺžky: pravdepodobnosť nájsť hodnotu v intervale [a,b] sa dá získať pomocou integrálu ∫_a^b f(x) dx. Treba zdôrazniť, že samotná hodnota f(x) nie je pravdepodobnosťou, ale mierou hustoty. Napríklad pravdepodobnosť, že výška jedinca je medzi 180 cm a 181 cm, sa získa integráciou hustoty na tomto intervale; jednotlivé konkrétne centimetre majú nulovú pravdepodobnosť. Táto interpretácia je dôležitá pri meraní a modelovaní reálnych javov, kde premenné nadobúdajú nekonečne mnoho hodnôt.

Príklady a súvisiace pojmy

  • Jednotné rozdelenie: hustota je konštantná na určitom intervale.
  • Normálne rozdelenie: známe zvonové rozdelenie používané pri modelovaní chýb merania alebo prirodzených variácií.
  • Exponenciálne rozdelenie: používa sa pri modelovaní časov medzi udalosťami v Poissonovom procese.

Spojná hustota sa odlišuje od diskrétnej pravdepodobnostnej hmotnostnej funkcie (PMF), ktorá popisuje pravdepodobnosti jednotlivých izolovaných hodnôt, napríklad pri hode kockou. V takýchto prípadoch má náhodná premenná len konečný alebo spočetný počet možných výsledkov, každý s nenulovou pravdepodobnosťou, zatiaľ čo pri PDF sú pravdepodobnosti bodov nulové. Pri praktických úlohách sa tiež stretneme s odhadom hustoty na základe vzorky, čo je oblasť neparametrického štatistického modelovania.

Rozšírenia, operácie a dôležité poznámky

Hustota môže byť rozšírená na viacrozmerné náhodné premenné ako spoločne rozdelená hustota f_{X,Y}(x,y). Z nej sa získavajú marginálne hustoty integráciou po zvyšných premenných a nezávislosť dvoch premenných sa vyjadruje ako súčin marginálnych hustôt. Pri zmene premenných je potrebné použiť Jacobian transformáciu, aby sa zachovala pravdepodobnosť. Očakávania a momenty sa vyjadrujú ako integrály: E[g(X)] = ∫ g(x) f(x) dx. Pri práci s hustotami je dôležité rozlišovať medzi hustotou a pravdepodobnosťou a pamätať, že integrál cez intervaly, nie hodnoty v bodoch, dáva zmysluplné pravdepodobnosti.

{\displaystyle {\tfrac {1}{6}}} Zdroje a ďalšie čítanie môžu zahŕňať učebnice teórie pravdepodobnosti a praktické príručky štatistiky, ktoré ukazujú výpočty integrálov, transformácie a odhad hustoty z dát. Pre konkrétne príklady rozdelení alebo numerické implementácie odporúčame konzultovať štatistické referencie a online nástroje s príkladmi a grafmi.

Pre súvisiace pojmy a formálne dôkazy hľadajte rozšírenia v literatúre: základné definície, príklady výpočtov pravdepodobností a techniky odhadu hustoty sú popísané v mnohých dostupných zdrojoch.