Integrálny

V matematike je integrál priestor pod grafom rovnice (niekedy sa hovorí ako "plocha pod krivkou"). Integrál je opakom derivácie a je opakom diferenciálneho počtu. Derivát je strmosť (alebo "sklon"), ako rýchlosť zmeny, krivky. Slovo "integrál" sa môže používať aj ako prídavné meno s významom "súvisiaci s celými číslami".

Symbol pre integráciu v kalkuloch je: ∫ {\displaystyle \int _{\,}^{\,}} $\int _{\,}^{\,}$ ako vysoké písmeno "S". Tento symbol prvýkrát použil Gottfried Wilhelm Leibniz, ktorý ho použil ako štylizované "ſ" (summa, latinsky súčet) na označenie súčtu plochy pokrytej rovnicou, napríklad y = f(x).

Integrály a derivácie sú súčasťou odvetvia matematiky nazývaného kalkulus. Spojenie medzi nimi je veľmi dôležité a nazýva sa Základná veta kalkulu. Táto veta hovorí, že integrál možno obrátiť deriváciou, podobne ako možno sčítanie obrátiť odčítaním.

Integrácia pomáha pri násobení jednotiek do problému. Napríklad, ak je problém s rýchlosťou, ( vzdialenosť čas ) {\displaystyle \left({\frac {\text{vzdialenosť}}{\text{čas}}}\right)} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ , potrebuje odpoveď len na vzdialenosť, jedným z riešení je integrovať vzhľadom na čas. To znamená, že násobením v čase zrušíme čas v ( vzdialenosť čas ) × čas {\displaystyle \left({\frac {\text{vzdialenosť}}{\text{čas}}}}\right)\times {\text{čas}}} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ . Toto sa vykonáva sčítaním malých výsekov grafu rýchlosti. Šírka týchto plátkov sa blíži k nule, ale ich nekonečným sčítaním sa vytvorí celok. Toto sa nazýva Riemannova suma.

Sčítaním týchto plátkov dostaneme rovnicu, ktorej deriváciou je prvá rovnica. Integrály sú ako spôsob, ako ručne sčítať mnoho drobných vecí. Je to ako sčítanie, čo je sčítanie 1 + 2 + 3 + 4.... + n {\displaystyle 1+2+3+4....+n} $1+2+3+4....+n$ . Rozdiel oproti integrácii je v tom, že musíme sčítať aj všetky desatinné čísla a zlomky medzi nimi.

Ďalším prípadom, keď je integrácia užitočná, je zistenie objemu telesa. Dokáže sčítavať dvojrozmerné (bez šírky) rezy telesa do nekonečna, až kým nevznikne šírka. To znamená, že objekt má teraz tri rozmery: pôvodné dva a šírku. Tým získame objem opísaného trojrozmerného objektu.

Integrácia spočíva v nájdení plochy s vzhľadom na a, b a y = f(x). Vzorec pre integrál z a do b, ktorý je znázornený na grafe vyššie, je:
Vzorec: ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Čo je integrál (animácia)

Metódy integrácie

Antiderivát

Podľa základnej vety kalkulu je integrál antiderivátom.

Ak vezmeme funkciu 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ a antidiferencujeme ju, môžeme povedať, že integrálom funkcie 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ je napríklad x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ . Hovoríme integrál, nie integrál, pretože antiderivát funkcie nie je jedinečný. Napríklad x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} $x^{2}+17$ sa tiež diferencuje na 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ . Z tohto dôvodu sa pri antiderivácii musí pridať konštanta C. Toto sa nazýva neurčitý integrál. Je to preto, lebo pri hľadaní derivácie funkcie sa konštanty rovnajú 0, ako napríklad vo funkcii

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ . Všimnite si 0: nemôžeme ju nájsť, ak máme len deriváciu, takže integrál je

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$ .

Jednoduché rovnice

Jednoduchú rovnicu, napríklad y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} $y=x^{2}$ , možno integrovať vzhľadom na x pomocou nasledujúcej techniky. Integrácia prebieha tak, že k mocnine, na ktorú je x zvýšené, sa pripočíta 1 a potom sa x vydelí hodnotou tejto novej mocniny. Preto sa integrácia normálnej rovnice riadi týmto pravidlom: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C} $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

D x {\displaystyle dx} $dx$ na konci ukazuje, že integrujeme vzhľadom na x, t. j. pri zmene x. To možno považovať za inverznú diferenciáciu. Pri integrovaní sa však pridáva konštanta C. Tá sa nazýva integračná konštanta. Je potrebná preto, lebo výsledkom diferencovania celého čísla je nula, a preto pri integrovaní nuly (ktorú možno položiť na koniec ľubovoľného integrálu) vznikne celé číslo C. Hodnotu tohto celého čísla by sme našli pomocou daných podmienok.

Rovnice s viac ako jedným členom sa jednoducho integrujú integrovaním každého jednotlivého člena:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Integrácia zahŕňajúca e a ln

Existujú určité pravidlá pre integrovanie pomocou e a prirodzeného logaritmu. Najdôležitejšie je, že e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ je integrálom samého seba (s pridaním integračnej konštanty): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C} $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

Prirodzený logaritmus, ln, je užitočný pri integrovaní rovníc s 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ . Tie sa nedajú integrovať pomocou vyššie uvedeného vzorca (pripočítaj jednotku k mocnine, vydeľ mocninou), pretože pripočítaním jednotky k mocnine vznikne 0 a delenie 0 nie je možné. Namiesto toho je integrál 1 x {\displaystyle 1/x} $1/x$ ln x {\displaystyle \ln x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

Vo všeobecnejšej podobe: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

Dve zvislé čiary označujú absolútnu hodnotu; znamienko (kladné alebo záporné) f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) sa ignoruje. Je to preto, že pre prirodzený logaritmus záporných čísel neexistuje žiadna hodnota.

Vlastnosti

Súčet funkcií

Integrál súčtu funkcií je súčtom integrálov jednotlivých funkcií, t. j,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

Dôkaz je jednoduchý: Definícia integrálu je limitou súčtov. Teda

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Všimnite si, že oba integrály majú rovnaké limity.

Konštanty pri integrácii

Ak je konštanta v integrále s funkciou, možno ju vyňať. Ďalej, keď konštanta c nie je sprevádzaná funkciou, jej hodnota je c * x. To znamená,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ a

To sa dá vykonať len pomocou konštanty.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

Dôkaz je opäť založený na definícii integrálu.

Iné

Ak sú body a, b a c v poradí (t. j. za sebou na osi x), integrál f(x) z bodu a do bodu b plus integrál f(x) z bodu b do c sa rovná integrálu z bodu a do c. To znamená,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ ak sú v poradí. (To platí aj vtedy, keď a, b, c nie sú v poradí, ak definujeme ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ .)

∫ a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . To vyplýva zo základnej vety kalkulu (FTC): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Opäť podľa FTC: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]} $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to integrál?

Odpoveď: Integrál je priestor pod grafom rovnice, známy aj ako "plocha pod krivkou". Je to opak derivácie a súčasť odvetvia matematiky nazývaného kalkulus.

Otázka: Ako vyzerá symbol pre integráciu?

Odpoveď: Symbol pre integráciu v kalkulu vyzerá ako vysoké písmeno "S": ∫ {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}}.

Otázka: Ako súvisia integrály s deriváciami?

Odpoveď: Integrály a derivácie sú spojené základnou vetou kalkulu, ktorá hovorí, že integrál možno obrátiť deriváciou, podobne ako sčítanie možno obrátiť odčítaním.

Otázka: Kedy môžeme použiť integráciu?

Odpoveď: Integráciu možno použiť pri násobení jednotiek v úlohe alebo pri zisťovaní objemu telesa. Pomáha sčítavať dvojrozmerné plátky, až kým nie sú široké, čím sa získajú tri rozmery objektu a jeho objem.

Otázka: V čom je integrácia podobná sčítaniu?

Odpoveď: Integrácia je podobná sčítaniu v tom, že sčítava veľa drobných vecí, ale pri integrácii musíme sčítať aj všetky desatinné čísla a zlomky medzi nimi.

Otázka: Čo znamená Riemannov súčet?

Odpoveď: Riemannov súčet sa vzťahuje na sčítanie malých výsekov grafu miery, až kým sa nesčítajú do jednej celej rovnice.