Pravdepodobnostný priestor je matematický model používaný na opis vedeckých experimentov. Formálne zachytáva možné výsledky náhodného pokusu a pravidlá, podľa ktorých sa týmto výsledkom priřadzujú pravdepodobnosti. Pravdepodobnostný priestor sa obyčajne definuje trojicou (Ω, F, P), ktorá obsahuje nasledujúce časti:

  1. Vzorka priestoru (sample space) Ω — množina všetkých možných výsledkov jedného vykonania experimentu (napr. všetky možné výsledky hodu mincou alebo hodu kockou).
  2. Súbor udalostí F — zvolená rodina podmnožín Ω; každá takáto podmnožina sa nazýva udalosť a obsahuje buď žiadny, jeden alebo viac výsledkov z Ω.
  3. Funkcia P — pravdepodobnostná medida, ktorá priradí každej udalosti A ∈ F číslo P(A) v intervale [0,1], interpretované ako jej pravdepodobnosť.

Výsledok ω ∈ Ω je konkrétny výsledok jedného vykonania pokusu. Keďže jednotlivé výsledky môžu byť málo informatívne, pracuje sa s väčšími množinami výsledkov — udalosťami. Súbor všetkých uvažovaných udalostí tvoria prvky σ‑algebry F {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {F}}) {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {F}}}. Funkcia P prideľuje každej udalosti jej pravdepodobnosť a musí spĺňať určité vlastnosti (axiomy), ktoré zabezpečujú konzistentnú matematickú interpretáciu.

σ‑algebra (σ‑pole) — vlastnosti

σ‑algebra F nad množinou Ω je rodina podmnožín Ω, ktorá spĺňa tri základné vlastnosti:

  • Ω ∈ F a ∅ ∈ F (obsahuje prázdnu množinu a celú vzorku),
  • ak A ∈ F, potom aj komplement Ω \ A ∈ F (uzavretosť na doplnky),
  • ak A1, A2, A3, … sú v F, potom aj ich zjednotenie ⋃_{n=1}^∞ A_n ∈ F (uzavretosť na spočetné zjednotenia).

Z týchto vlastností vyplýva uzavretosť aj na spočetné prieniky (De Morganove zákony) a na ľubovoľné spočetné operácie zostavené z doplnkov a zjednotení. Najčastejšie používaná σ‑algebra na reálnej osi je Borelova σ‑algebra, ktorá obsahuje všetky otvorené (a teda aj zatvorené) podmnožiny R a všetky množiny, ktoré sa z nich dajú zostaviť spočetnými operáciami.

Kolmogorovove axiómy pravdepodobnosti

Axiomatické zakotvenie pravdepodobnosti zavedol Andrej Kolmogorov v 30. rokoch 20. storočia. Formálne ide o nasledujúce tri axiómy pre mieru P definovanú na σ‑algebre F:

  1. Nezápornosť: Pre každú udalosť A ∈ F platí P(A) ≥ 0.
  2. Normovanie: P(Ω) = 1 (pravdepodobnosť, že nastane nejaký výsledok zo vzorky, je 1).
  3. Spočetná aditivita (σ‑additivita): Ak sú A1, A2, … v F navzájom disjunktné (Ai ∩ Aj = ∅ pre i ≠ j), potom P(⋃_{n=1}^∞ A_n) = ∑_{n=1}^∞ P(A_n).

Dôsledky axióm

  • P(∅) = 0. To vyplýva z normovania a aditivity (ak by sme vzali disjunktné zjednotenie ∅ ∪ Ω = Ω).
  • Monotonicita: Ak A ⊆ B, potom P(A) ≤ P(B).
  • Subaditivita: Pre ľubovoľné A1, A2, … v F platí P(⋃_{n} A_n) ≤ ∑_{n} P(A_n).
  • Vzťahy pre dve udalosti: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) (inclusion–exclusion pre dve množiny).
  • Kontinuita mier: Ak A1 ⊆ A2 ⊆ … a A = ⋃_n A_n, potom P(A_n) ↑ P(A) (súvislosť zdola); analógicky, ak B1 ⊇ B2 ⊇ … a B = ⋂_n B_n s P(B1) < ∞, potom P(B_n) ↓ P(B) (súvislosť zhora).

Praktické poznámky a príklady

V konkrétnych problémoch sa často stretávame s rôznymi typmi pravdepodobnostných priestorov:

  • Konečný alebo spočítateľný diskétny priestor: Ω má konečne alebo spočítateľne mnoho prvkov. Typický príklad: hod mincou {H, T} s P(H)=P(T)=1/2, alebo hod kockou {1,2,3,4,5,6} s rovnakými pravdepodobnosťami.
  • Absolútne kontinuálny (kontinuálny) priestor: Ω môžu byť reálne čísla R a udalosťami sú Borelove množiny; pravdepodobnosť určuje hustota (napr. normálne rozdelenie s hustotou f(x), kde P(A)=∫_A f(x) dx).
  • Priebežné alebo zložené priestory: Pri modelovaní viacrozmerných náhodných veličín používame produkt σ‑algebru a produktové miery (napr. rozdelenie dvojice (X,Y)).

Podmienená pravdepodobnosť a nezávislosť (stručne)

Pre A, B ∈ F s P(B) > 0 definujeme podmienenú pravdepodobnosť P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B). Dve udalosti A a B sú nezávislé, ak P(A ∩ B) = P(A) P(B). Nezávislosť sa rozširuje aj na rodiny udalostí alebo náhodných premenných.

Interpretácie

Matematická (axiomatická) teória pravdepodobnosti je neutrálna voči interpretácii. Najčastejšie používané sú:

  • Frekventistická interpretácia: P(A) približuje dlhodobú relatívnu frekvenciu výskytu A pri opakovaní experimentu.
  • Bayesovská/subjectívna interpretácia: P(A) vyjadruje subjektívny stupeň viery o nastaní A, pričom sa upravuje podľa pravidla Bayesa pri príchode nových informácií.

Po vytvorení pravdepodobnostného priestoru "príroda" vyberie jeden výsledok ω ∈ Ω. O udalostiach, ktoré obsahujú tento ω, hovoríme, že nastali. Axiomatické zakotvenie Kolmogorova poskytuje pevný matematický základ pre rozvoj teórie náhodných veličín, limitných vet a štatistiky, ktoré sú aplikované v mnohých oblastiach vedy a techniky.

Významný sovietsky matematik Andrej Kolmogorov formalizoval tento prístup v 30. rokoch 20. storočia, čím umožnil jednotné a rigorózne používanie pravdepodobnosti v teórii aj praxi.