Schwarzschildova metrika

Odvodenie

Hoci komplikovanejší spôsob výpočtu Schwarzschildovej metriky možno nájsť pomocou Christoffelových symbolov, možno ju odvodiť aj pomocou rovníc pre únikovú rýchlosť ( v e {\displaystyle v_{e}} ), dilatáciu času (dt'), kontrakciu dĺžky (dr'):

v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}} (1)

v je rýchlosť častice
G je gravitačná konštanta
M je hmotnosť čiernej diery
r je vzdialenosť častice od ťažkého objektu

d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} (2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} (3)

dt' je skutočná zmena času častice
dt je zmena času častice
dr' je skutočná prejdená vzdialenosť
dr je zmena vzdialenosti častice
v je rýchlosť častice
c je rýchlosť svetla

Poznámka: skutočný časový interval a skutočná vzdialenosť, ktorú častica prekoná, sa líšia od času a vzdialenosti vypočítaných vo výpočtoch klasickej fyziky, pretože sa pohybuje v takom silnom gravitačnom poli!

Pomocou rovnice pre plochý časopriestor v sférických súradniciach:

( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} (4)

ds je dráha častice

θ {\displaystyle \theta } je uhol
d θ {\displaystyle \theta } a d ϕ {\displaystyle \phi } sú zmeny uhlov

Dosadením rovníc pre únikovú rýchlosť, dilatáciu času a kontrakciu dĺžky (rovnice 1, 2 a 3) do rovnice pre plochý časopriestor (rovnica 4) získame Schwarzschildovu metriku:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} (5)

Z tejto rovnice môžeme určiť Schwarzschildov polomer ( r s {\displaystyle r_{s}} ), polomer tejto čiernej diery. Hoci sa tento údaj najčastejšie používa na opis Schwarzschildovej čiernej diery, Schwarzschildov polomer sa dá vypočítať pre akýkoľvek ťažký objekt.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} (6)

r s {\displaystyle r_{s}} je nastavená hranica polomeru objektu