Štvorcové číslo, niekedy nazývané aj dokonalý štvorec, je výsledkom násobenia celého čísla samým sebou. 1, 4, 9, 16 a 25 je prvých päť štvorcových čísel. Vo vzorci sa štvorec čísla n označuje n2 (exponenciácia), zvyčajne sa vyslovuje ako "n na štvorce". Názov štvorcové číslo pochádza z názvu tvaru; pozri nižšie.

Štvorcové čísla sú nezáporné. Iný spôsob, ako povedať, že (nezáporné) číslo je štvorcové číslo, je, že jeho odmocnina je opäť celé číslo. Napríklad √9 = 3, takže 9 je štvorcové číslo.

Základné vlastnosti

  • Definícia: Číslo m je štvorcové práve vtedy, keď existuje celé číslo n také, že m = n2.
  • Nezápornosť: Štvorcové čísla sú vždy ≥ 0. Nulou je 0 = 02.
  • Symetria pre znamienka: (-n)2 = n2, takže každý štvorec záporného čísla je rovnaký ako štvorec jeho kladného protějšku.
  • Rozklad na prvočíselné faktory: Celé číslo je štvorcové práve vtedy, keď v jeho prvočíselnom rozklade majú všetky exponenty sudú hodnotu. Napríklad 36 = 22·32 je štvorcové, zatiaľ čo 12 = 22·3 má exponent 1 pri čísle 3, takže nie je štvorcové.
  • Rozdiely medzi po sebe idúcimi štvorcami: (n+1)2 − n2 = 2n + 1, teda rozdiely sú postupne nenásobné nepárne čísla. Z toho plynie, že súčet prvých n nepárnych čísel je n2.
  • Geometrická interpretácia: Štvorcové číslo n2 predstavuje počet jednotkových štvorcov v mriežkovom štvorci so stranou dĺžky n.

Príklady a tabuľka

  • Prvých pár štvorcových čísel (n → n2): 0 → 0, 1 → 1, 2 → 4, 3 → 9, 4 → 16, 5 → 25, 6 → 36, 7 → 49, 8 → 64, 9 → 81, 10 → 100.
  • Príklad: 49 = 72, preto je 49 štvorcové číslo; √49 = 7.

Rýchle testy a modulárne vlastnosti

  • Posledná cifra v desiatkovej sústave: Dokonalé štvorce sa v dekadickej sústave nikdy nekončia ciframi 2, 3, 7 alebo 8. Posledná cifra môže byť iba 0, 1, 4, 5, 6 alebo 9.
  • Digitálny koreň (mod 9): Štvorce modulo 9 môžu mať len hodnoty 0, 1, 4 alebo 7. To môže rýchlo vylúčiť niektoré čísla.
  • Štvorce modulo 4 a 8: Každý štvorec je modulo 4 buď 0 alebo 1. Modulo 8 sú štvorce len 0, 1 alebo 4.
  • Prvočíselné vlastnosti: Ak prvočíselný rozklad obsahuje niektorý exponent nepárny, číslo nie je štvorcové.

Ako overiť, či je číslo štvorcové

  • Vypočítať √m a skontrolovať, či je výsledok celé číslo (bez desatinnej časti).
  • Skontrolovať prvočíselný rozklad — všetky exponenty musia byť sudé.
  • Použiť rýchle modulosové testy (napr. posledná cifra, modulo 4 alebo 9) na vylúčenie nemožnosti.

Užitočné tvrdenia a súvislosti

  • Štvorcové čísla sa často objavujú v rôznych vetách a úlohách aritmetiky a teórie čísel (napr. Pytagorova veta, diophantické rovnice, teória kongruencií).
  • Existujú čísla, ktoré sú súčasne štvorcové a trojuholníkové (tzv. square triangular numbers), napr. 1, 36, 1225, ...
  • Štvorcové čísla sú prípadom polygonálnych čísel — konkrétne druh polygonálneho čísla.

Zhrnutie

Štvorcové číslo je jednoduchý, ale veľmi dôležitý pojem v aritmetike: je to výsledok násobenia celého čísla samo sebou. Ich vlastnosti (sudé exponenty v rozklade, modulárne obmedzenia, prepojenie s geometrickým štvorcom) poskytujú silné nástroje na rýchle rozpoznanie alebo vylúčenie dokonalosti štvorca a majú široké využitie v matematike.