Štvorcové číslo

Štvorcové číslo, niekedy nazývané aj dokonalý štvorec, je výsledkom násobenia celého čísla samým sebou. 1, 4, 9, 16 a 25 je prvých päť štvorcových čísel. Vo vzorci sa štvorec čísla n označuje $n 2$ (exponenciácia), zvyčajne sa vyslovuje ako "n na štvorce". Názov štvorcové číslo pochádza z názvu tvaru; pozri nižšie.

Štvorcové čísla sú nezáporné. Iný spôsob, ako povedať, že (nezáporné) číslo je štvorcové číslo, je, že jeho odmocnina je opäť celé číslo. Napríklad √9 = 3, takže 9 je štvorcové číslo.

Príklady

Štvorce (sekvencia A000290 v OEIS) menšie ako 70² sú:

0² =0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² =100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

51² = 2601

52² = 2704

53² = 2809

54² = 2916

55² = 3025

56² = 3136

57² = 3249

58² = 3364

59² = 3481

60² = 3600

61² = 3721

62² = 3844

63² = 3969

64² = 4096

65² = 4225

66² = 4356

67² = 4489

68² = 4624

69² = 4761

Existuje nekonečne veľa štvorcových čísel, rovnako ako nekonečne veľa prirodzených čísel.

Vlastnosti

Číslo m je štvorcové číslo vtedy a len vtedy, ak možno z m rovnakých (menších) štvorcov zostaviť štvorec:

m = 1² = 1
m = 2² = 4
m = 3² = 9
m = 4² = 16
m = 5² = 25
Poznámka: Biele medzery medzi štvorcami slúžia len na zlepšenie vizuálneho vnímania. Medzi skutočnými štvorcami nesmú byť žiadne medzery.

Štvorec so stranou dĺžky n má plochu $n 2$ .

Výraz pre n-té štvorcové číslo je n² . To sa zároveň rovná súčtu prvých n nepárnych čísel, ako je vidieť na obrázkoch vyššie, kde štvorec vznikne z predchádzajúceho sčítaním nepárneho počtu bodov (znázornené purpurovou farbou). Vzorec je nasledovný:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). } $n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).$

Takže napríklad $52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.$

Štvorcové číslo môže končiť iba číslicami 0, 1, 4, 6, 9 alebo 25 v základe 10, a to takto:

Ak je posledná číslica čísla 0, jeho štvorec končí párnym počtom 0 (teda aspoň 00) a číslice pred koncovými 0 musia tiež tvoriť štvorec.
Ak je posledná číslica čísla 1 alebo 9, jeho štvorec končí číslicou 1 a číslo vytvorené predchádzajúcimi číslicami musí byť deliteľné štyrmi.
Ak je posledná číslica čísla 2 alebo 8, jeho štvorec končí číslicou 4 a predchádzajúca číslica musí byť párna.
Ak je posledná číslica čísla 3 alebo 7, jeho štvorec končí číslom 9 a číslo vytvorené predchádzajúcimi číslicami musí byť deliteľné štyrmi.
Ak je posledná číslica čísla 4 alebo 6, jeho štvorec končí číslicou 6 a predchádzajúca číslica musí byť nepárna.
Ak je posledná číslica čísla 5, jeho štvorec končí číslicou 25 a predchádzajúce číslice musia byť 0, 2, 06 alebo 56.

Štvorcové číslo nemôže byť dokonalé číslo.

Všetky štvrté mocniny, šieste mocniny, ôsme mocniny atď. sú dokonalé štvorce.

Špeciálne prípady

Ak je číslo v tvare m5, kde m predstavuje predchádzajúce číslice, jeho štvorec je n25, kde $n = m \times (m + 1)$ a predstavuje číslice pred 25. Napríklad štvorec čísla 65 možno vypočítať podľa $n = 6 \times (6 + 1) = 42,$ čím sa štvorec rovná 4225.
Ak má číslo tvar m0, kde m predstavuje predchádzajúce číslice, jeho štvorec je n00, kde $n = m 2$ . Napríklad štvorec čísla 70 je 4900.
Ak má číslo dve číslice a je v tvare 5m, kde m predstavuje jednotkovú číslicu, jeho štvorec je AABB, kde $AA = 25 + m$ a $BB = m 2$ . Príklad: Na výpočet štvorca čísla 57 platí 25 + 7 = 32 a 7² = 49, čo znamená 57² = 3249.

Liché a párne štvorcové čísla

Štvorce párnych čísel sú párne (a v skutočnosti deliteľné 4), pretože $(2n) 2 = 4n 2$ .

Štvorce nepárnych čísel sú nepárne, pretože $(2n + 1) 2 = 4(n 2 + n) + 1.$

Z toho vyplýva, že odmocniny párnych štvorcových čísel sú párne a odmocniny nepárnych štvorcových čísel sú nepárne.

Keďže všetky párne štvorcové čísla sú deliteľné 4, párne čísla v tvare $4n + 2$ nie sú štvorcové čísla.

Keďže všetky nepárne štvorcové čísla majú tvar $4n + 1,$ nepárne čísla tvaru $4n + 3$ nie sú štvorcové čísla.

Štvorce nepárnych čísel majú tvar $8n + 1,$ pretože $(2n + 1) 2 = 4n(n + 1) + 1$ a $n (n + 1)$ je párne číslo.