Štvorcové čísla (dokonalé štvorce): definícia, vlastnosti a príklady
Štvorcové čísla (dokonalé štvorce): definícia, vlastnosti a príklady — jasné vysvetlenie, vizuálne príklady a cvičenia pre žiakov aj učiteľov.
Štvorcové číslo, niekedy nazývané aj dokonalý štvorec, je výsledkom násobenia celého čísla samým sebou. 1, 4, 9, 16 a 25 je prvých päť štvorcových čísel. Vo vzorci sa štvorec čísla n označuje n2 (exponenciácia), zvyčajne sa vyslovuje ako "n na štvorce". Názov štvorcové číslo pochádza z názvu tvaru; pozri nižšie.
Štvorcové čísla sú nezáporné. Iný spôsob, ako povedať, že (nezáporné) číslo je štvorcové číslo, je, že jeho odmocnina je opäť celé číslo. Napríklad √9 = 3, takže 9 je štvorcové číslo.
Galéria obrázkov
3 Obrázky
Základné vlastnosti
- Definícia: Číslo m je štvorcové práve vtedy, keď existuje celé číslo n také, že m = n2.
- Nezápornosť: Štvorcové čísla sú vždy ≥ 0. Nulou je 0 = 02.
- Symetria pre znamienka: (-n)2 = n2, takže každý štvorec záporného čísla je rovnaký ako štvorec jeho kladného protějšku.
- Rozklad na prvočíselné faktory: Celé číslo je štvorcové práve vtedy, keď v jeho prvočíselnom rozklade majú všetky exponenty sudú hodnotu. Napríklad 36 = 22·32 je štvorcové, zatiaľ čo 12 = 22·3 má exponent 1 pri čísle 3, takže nie je štvorcové.
- Rozdiely medzi po sebe idúcimi štvorcami: (n+1)2 − n2 = 2n + 1, teda rozdiely sú postupne nenásobné nepárne čísla. Z toho plynie, že súčet prvých n nepárnych čísel je n2.
- Geometrická interpretácia: Štvorcové číslo n2 predstavuje počet jednotkových štvorcov v mriežkovom štvorci so stranou dĺžky n.
Príklady a tabuľka
- Prvých pár štvorcových čísel (n → n2): 0 → 0, 1 → 1, 2 → 4, 3 → 9, 4 → 16, 5 → 25, 6 → 36, 7 → 49, 8 → 64, 9 → 81, 10 → 100.
- Príklad: 49 = 72, preto je 49 štvorcové číslo; √49 = 7.
Rýchle testy a modulárne vlastnosti
- Posledná cifra v desiatkovej sústave: Dokonalé štvorce sa v dekadickej sústave nikdy nekončia ciframi 2, 3, 7 alebo 8. Posledná cifra môže byť iba 0, 1, 4, 5, 6 alebo 9.
- Digitálny koreň (mod 9): Štvorce modulo 9 môžu mať len hodnoty 0, 1, 4 alebo 7. To môže rýchlo vylúčiť niektoré čísla.
- Štvorce modulo 4 a 8: Každý štvorec je modulo 4 buď 0 alebo 1. Modulo 8 sú štvorce len 0, 1 alebo 4.
- Prvočíselné vlastnosti: Ak prvočíselný rozklad obsahuje niektorý exponent nepárny, číslo nie je štvorcové.
Ako overiť, či je číslo štvorcové
- Vypočítať √m a skontrolovať, či je výsledok celé číslo (bez desatinnej časti).
- Skontrolovať prvočíselný rozklad — všetky exponenty musia byť sudé.
- Použiť rýchle modulosové testy (napr. posledná cifra, modulo 4 alebo 9) na vylúčenie nemožnosti.
Užitočné tvrdenia a súvislosti
- Štvorcové čísla sa často objavujú v rôznych vetách a úlohách aritmetiky a teórie čísel (napr. Pytagorova veta, diophantické rovnice, teória kongruencií).
- Existujú čísla, ktoré sú súčasne štvorcové a trojuholníkové (tzv. square triangular numbers), napr. 1, 36, 1225, ...
- Štvorcové čísla sú prípadom polygonálnych čísel — konkrétne druh polygonálneho čísla.
Zhrnutie
Štvorcové číslo je jednoduchý, ale veľmi dôležitý pojem v aritmetike: je to výsledok násobenia celého čísla samo sebou. Ich vlastnosti (sudé exponenty v rozklade, modulárne obmedzenia, prepojenie s geometrickým štvorcom) poskytujú silné nástroje na rýchle rozpoznanie alebo vylúčenie dokonalosti štvorca a majú široké využitie v matematike.
Príklady
Štvorce (sekvencia A000290 v OEIS) menšie ako 702 sú:
102 =100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401
502 = 2500
512 = 2601
522 = 2704
532 = 2809
542 = 2916
552 = 3025
562 = 3136
572 = 3249
582 = 3364
592 = 3481
602 = 3600
612 = 3721
622 = 3844
632 = 3969
642 = 4096
652 = 4225
662 = 4356
672 = 4489
682 = 4624
692 = 4761
Existuje nekonečne veľa štvorcových čísel, rovnako ako nekonečne veľa prirodzených čísel.
Vlastnosti
Číslo m je štvorcové číslo vtedy a len vtedy, ak možno z m rovnakých (menších) štvorcov zostaviť štvorec:
| m = 12 = 1 |
|
| m = 22 = 4 |
|
| m = 32 = 9 |
|
| m = 42 = 16 |
|
| m = 52 = 25 |
|
| Poznámka: Biele medzery medzi štvorcami slúžia len na zlepšenie vizuálneho vnímania. | |
Štvorec so stranou dĺžky n má plochu n2 .
Výraz pre n-té štvorcové číslo je n2 . To sa zároveň rovná súčtu prvých n nepárnych čísel, ako je vidieť na obrázkoch vyššie, kde štvorec vznikne z predchádzajúceho sčítaním nepárneho počtu bodov (znázornené purpurovou farbou). Vzorec je nasledovný:
n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). } 
Takže napríklad 52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Štvorcové číslo môže končiť iba číslicami 0, 1, 4, 6, 9 alebo 25 v základe 10, a to takto:
- Ak je posledná číslica čísla 0, jeho štvorec končí párnym počtom 0 (teda aspoň 00) a číslice pred koncovými 0 musia tiež tvoriť štvorec.
- Ak je posledná číslica čísla 1 alebo 9, jeho štvorec končí číslicou 1 a číslo vytvorené predchádzajúcimi číslicami musí byť deliteľné štyrmi.
- Ak je posledná číslica čísla 2 alebo 8, jeho štvorec končí číslicou 4 a predchádzajúca číslica musí byť párna.
- Ak je posledná číslica čísla 3 alebo 7, jeho štvorec končí číslom 9 a číslo vytvorené predchádzajúcimi číslicami musí byť deliteľné štyrmi.
- Ak je posledná číslica čísla 4 alebo 6, jeho štvorec končí číslicou 6 a predchádzajúca číslica musí byť nepárna.
- Ak je posledná číslica čísla 5, jeho štvorec končí číslicou 25 a predchádzajúce číslice musia byť 0, 2, 06 alebo 56.
Štvorcové číslo nemôže byť dokonalé číslo.
Všetky štvrté mocniny, šieste mocniny, ôsme mocniny atď. sú dokonalé štvorce.
Špeciálne prípady
- Ak je číslo v tvare m5, kde m predstavuje predchádzajúce číslice, jeho štvorec je n25, kde n = m × (m + 1) a predstavuje číslice pred 25. Napríklad štvorec čísla 65 možno vypočítať podľa n = 6 × (6 + 1) = 42, čím sa štvorec rovná 4225.
- Ak má číslo tvar m0, kde m predstavuje predchádzajúce číslice, jeho štvorec je n00, kde n = m2 . Napríklad štvorec čísla 70 je 4900.
- Ak má číslo dve číslice a je v tvare 5m, kde m predstavuje jednotkovú číslicu, jeho štvorec je AABB, kde AA = 25 + m a BB = m2 . Príklad: Na výpočet štvorca čísla 57 platí 25 + 7 = 32 a 72 = 49, čo znamená 572 = 3249.
Liché a párne štvorcové čísla
Štvorce párnych čísel sú párne (a v skutočnosti deliteľné 4), pretože (2n)2 = 4n2 .
Štvorce nepárnych čísel sú nepárne, pretože (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.
Z toho vyplýva, že odmocniny párnych štvorcových čísel sú párne a odmocniny nepárnych štvorcových čísel sú nepárne.
Keďže všetky párne štvorcové čísla sú deliteľné 4, párne čísla v tvare 4n + 2 nie sú štvorcové čísla.
Keďže všetky nepárne štvorcové čísla majú tvar 4n + 1, nepárne čísla tvaru 4n + 3 nie sú štvorcové čísla.
Štvorce nepárnych čísel majú tvar 8n + 1, pretože (2n + 1)2 = 4n(n + 1) + 1 a n(n + 1) je párne číslo.
Súvisiace články
Autor
AlegsaOnline.com Štvorcové čísla (dokonalé štvorce): definícia, vlastnosti a príklady Leandro Alegsa
URL: https://sk.alegsaonline.com/art/92934