Hilbertov priestor
Hilbertov priestor je matematický pojem, ktorý zahŕňa mimodimenzionálne využitie euklidovského priestoru, t. j. priestoru s viac ako tromi dimenziami. Hilbertov priestor využíva matematiku dvoch a troch rozmerov, aby sa pokúsil opísať to, čo sa deje vo väčších ako troch rozmeroch. Je pomenovaný podľa Davida Hilberta.
Vektorová algebra a kalkul sú metódy, ktoré sa bežne používajú v dvojrozmernej euklidovskej rovine a trojrozmernom priestore. V Hilbertových priestoroch sa tieto metódy môžu používať s ľubovoľným konečným alebo nekonečným počtom rozmerov. Hilbertov priestor je vektorový priestor, ktorý má štruktúru vnútorného súčinu, ktorý umožňuje merať dĺžku a uhol. Hilbertove priestory musia byť tiež úplné, čo znamená, že musí existovať dostatok limitov, aby fungoval kalkulus.
Prvé Hilbertove priestory študovali v prvom desaťročí 20. storočia David Hilbert, Erhard Schmidt a Frigyes Riesz. John von Neumann ako prvý prišiel s názvom "Hilbertov priestor". Metódy Hilbertových priestorov znamenali veľký prínos pre funkcionálnu analýzu.
Hilbertove priestory sa často vyskytujú v matematike, fyzike a technike, často ako nekonečne rozmerné priestory funkcií. Sú užitočné najmä pri štúdiu parciálnych diferenciálnych rovníc, kvantovej mechaniky, Fourierovej analýzy (ktorá zahŕňa spracovaniesignálov a prenos tepla). Hilbertove priestory sa používajú v ergodickej teórii, ktorá je matematickým základom termodynamiky. Všetky normálne euklidovské priestory sú tiež Hilbertove priestory. Medzi ďalšie príklady Hilbertových priestorov patria priestory štvorcovo integrovateľných funkcií, priestory postupností, Sobolevove priestory tvorené zovšeobecnenými funkciami a Hardyho priestory holomorfných funkcií.
Hilbertove priestory možno použiť na štúdium harmonických zložiek vibrujúcich strún.
Otázky a odpovede
Otázka: Čo je to Hilbertov priestor?
A: Hilbertov priestor je matematický pojem, ktorý využíva matematiku dvoch a troch rozmerov na to, aby sa pokúsil opísať to, čo sa deje vo väčších ako troch rozmeroch. Je to vektorový priestor so štruktúrou vnútorného súčinu, ktorý umožňuje merať dĺžku a uhol a musí byť úplný, aby fungoval aj kalkul.
Otázka: Kto pomenoval pojem Hilbertov priestor?
Odpoveď: Koncept Hilbertových priestorov prvýkrát skúmali začiatkom 20. storočia David Hilbert, Erhard Schmidt a Frigyes Riesz. S názvom "Hilbertov priestor" prišiel John von Neumann.
Otázka: Aké sú niektoré aplikácie Hilbertových priestorov?
Odpoveď: Hilbertove priestory sa používajú v mnohých oblastiach, napríklad v matematike, fyzike, inžinierstve, funkčnej analýze, parciálnych diferenciálnych rovniciach, kvantovej mechanike, Fourierovej analýze (ktorá zahŕňa spracovanie signálov a prenos tepla), ergodickej teórii (matematický základ termodynamiky), štvorcovo integrovateľných funkciách, postupnostiach, Sobolevových priestoroch tvorených zovšeobecnenými funkciami, Hardyho priestoroch holomorfných funkcií.
Otázka: Považujú sa všetky normálne euklidovské priestory tiež za Hilbertove priestory?
Odpoveď: Áno - všetky normálne euklidovské priestory sa tiež považujú za Hilbertove priestory.
Otázka: Ako Hilbertove priestory ovplyvnili funkčnú analýzu?
Odpoveď: Použitie Hilbertových priestorov znamenalo veľký prínos pre funkcionálnu analýzu tým, že poskytlo nové metódy na štúdium problémov súvisiacich s touto oblasťou.
Otázka: Aký typ matematiky je potrebné poznať pri práci s Hilbertovým priestorom?
Odpoveď: Vektorová algebra a kalkulus sa zvyčajne používajú pri práci s dvojrozmernou euklidovskou rovinou alebo trojrozmerným priestorom; tieto metódy sa však pri práci s Hilbertovým priestorom dajú použiť aj pri akomkoľvek konečnom alebo nekonečnom počte rozmerov.
