Fourierova transformácia

Fourierova transformácia je matematická funkcia, ktorú možno použiť na zistenie základných frekvencií, z ktorých sa skladá signál alebo vlna. Ak sa napríklad hrá akord, zvukovú vlnu akordu možno vložiť do Fourierovej transformácie a nájsť noty, z ktorých sa akord skladá. Výstup Fourierovej transformácie sa niekedy nazýva frekvenčné spektrum alebo rozdelenie, pretože zobrazuje spektrum frekvencií vstupu. Táto funkcia má mnoho využití v kryptografii, oceánografii, strojovom učení, rádiológii, kvantovej fyzike, ako aj v dizajne a vizualizácii zvuku.

Fourierova transformácia funkcie f ( x ) {\displaystyle f(x)}f(x) je daná vzťahom

F ( α ) = ∫ - ∞ + ∞ f ( x ) e - 2 π i α x d x {\displaystyle F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}dx} {\displaystyle F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}dx}

α {\displaystyle \alpha } {\displaystyle \alpha }je frekvencia

F ( α ) {\displaystyle F(\alpha )}{\displaystyle F(\alpha )} je funkcia Fourierovej transformácie a vracia hodnotu vyjadrujúcu, ako prevláda frekvencia α {\displaystyle \alpha }{\displaystyle \alpha } v pôvodnom signále.

e - 2 π i α x {\displaystyle e^{-2\pi i\alfa x}} {\displaystyle e^{-2\pi i\alpha x}}Predstavuje obtekanie vstupnej funkcie f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x)okolo počiatku v komplexnej rovine pri určitej frekvencii α {\displaystyle \alpha } {\displaystyle \alpha }

Inverzná Fourierova transformácia je daná vzťahom

f ( x ) = ∫ - ∞ + ∞ F ( α ) e + 2 π i x α d α {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ix\alpha }d\alpha } {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ix\alpha }d\alpha }

Fourierova transformácia ukazuje, aké frekvencie sa nachádzajú v signáli. Uvažujme napríklad zvukovú vlnu, ktorá obsahuje tri rôzne hudobné tóny: Zhotovenie grafu Fourierovej transformácie tejto zvukovej vlny (s frekvenciou na osi x a intenzitou na osi y) ukáže vrchol na každej frekvencii, ktorý zodpovedá jednej z hudobných nôt.

Sčítaním kosínusov a sínusov s rôznymi amplitúdami a frekvenciami možno vytvoriť mnoho signálov. Fourierova transformácia zobrazuje amplitúdy a fázy týchto kosínusov a sínusov v závislosti od ich príslušných frekvencií.

Fourierove transformácie sú dôležité, pretože mnohé signály majú väčší zmysel, keď sú ich frekvencie oddelené. V uvedenom príklade zvuku pri pohľade na signál vzhľadom na čas nie je zrejmé, že v signále sú tóny A, B a C. Mnohé systémy robia rôzne veci s rôznymi frekvenciami, takže tieto druhy systémov možno opísať podľa toho, čo robia s jednotlivými frekvenciami. Príkladom je filter, ktorý blokuje vysoké frekvencie.

Výpočet Fourierovej transformácie si vyžaduje pochopenie integrácie a imaginárnych čísel. Na výpočet Fourierových transformácií sa zvyčajne používajú počítače, okrem najjednoduchších signálov. Rýchla Fourierova transformácia je metóda, ktorú počítače používajú na rýchly výpočet Fourierovej transformácie.

·        

Pôvodná funkcia zobrazujúca signál kmitajúci pri frekvencii 3 hertzov.

·        

Reálne a imaginárne časti integrálu pre Fourierovu transformáciu pri frekvencii 3 Hz

·        

Reálne a imaginárne časti integrálu pre Fourierovu transformáciu pri frekvencii 5 hertzov

·        

Fourierova transformácia s označením 3 a 5 hertzov.

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to Fourierova transformácia?


Odpoveď: Fourierova transformácia je matematická funkcia, ktorá sa dá použiť na zistenie základných frekvencií, z ktorých sa skladá vlna. Vezme komplexnú vlnu a nájde frekvencie, ktoré ju tvoria, čo umožňuje identifikovať tóny, ktoré tvoria akord.

Otázka: Aké sú niektoré spôsoby použitia Fourierovej transformácie?


Odpoveď: Fourierova transformácia má mnoho využití v kryptografii, oceánografii, strojovom učení, rádiológii, kvantovej fyzike, ako aj v dizajne a vizualizácii zvuku.

Otázka: Ako sa vypočíta Fourierova transformácia?


Odpoveď: Fourierova transformácia funkcie f(x) je daná vzťahom F(ב) = ∫-∞+∞f(x)e-2נiבxdx, kde ב je frekvencia. Vráti sa hodnota vyjadrujúca, ako prevláda frekvencia ב v pôvodnom signáli. Inverzná Fourierova transformácia je daná vzťahom f(x) = ∫-∞+∞F(ב)e+2נixבdב.

Otázka: Ako vyzerá výstup Fourierovej transformácie?


Odpoveď: Výstup Fourierovej transformácie možno nazvať buď frekvenčným spektrom, alebo rozdelením, pretože zobrazuje rozdelenie možných frekvencií vstupu.

Otázka: Ako počítače počítajú rýchle Fourierove transformácie?


Odpoveď: Počítače používajú algoritmus nazývaný Rýchla Fourierova transformácia (FFT) na rýchly výpočet akejkoľvek transformácie signálu okrem tých najjednoduchších.

Otázka: Čo nám neukazuje pohľad na signály vzhľadom na čas?


Odpoveď: Pri pohľade na signály vzhľadom na čas nie je zrejmé, aké tóny sú v nich prítomné; mnohé signály dávajú väčší zmysel, keď sa ich frekvencie oddelia a analyzujú jednotlivo.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3