Riemannova hypotéza
Riemannova hypotéza je matematická otázka (domnienka). Veľa ľudí si myslí, že nájsť dôkaz tejto hypotézy je jeden z najťažších a najdôležitejších nevyriešených problémov čistej matematiky. Čistá matematika je typ matematiky, ktorý sa zaoberá myslením o matematike. Je to niečo iné ako snaha o zavedenie matematiky do reálneho sveta. Odpoveď na Riemannovu hypotézu je "áno" alebo "nie".
Domnienka je pomenovaná podľa muža menom Bernhard Riemann. Žil v 19. storočí. Riemannova hypotéza kladie otázku o špeciálnej veci, ktorá sa nazýva Riemannova zeta funkcia.
Ak je odpoveď na otázku kladná, znamená to, že matematici môžu vedieť viac o prvočíslach. Konkrétne by im to pomohlo vedieť, ako nájsť prvočísla. Riemannova hypotéza je taká dôležitá a tak ťažko dokázateľná, že Clayov matematický inštitút ponúkol 1 000 000 dolárov tomu, kto ju dokáže ako prvý.
Riemannova zeta funkcia v komplexnej rovine. Reálna časť Re ( s ) {\displaystyle \operatorname {Re} (s)}
čísla je nakreslená vodorovne, imaginárna časť Im ( s ) {\displaystyle \operatorname {Im} (s)} 
vertikálne. Biele bodky znázorňujú nuly, kde Re ( s ) = {\displaystyle12 \operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}}
. Kliknutím získate úplné zobrazenie.
Čo je Riemannova hypotéza?
Čo je Riemannova zeta funkcia?
Riemannova zeta funkcia je druh funkcie. Funkcie sú v matematike veci ako rovnice. Funkcie prijímajú čísla a dávajú späť iné čísla. Je to podobné, ako keď položíte otázku, dostanete späť odpoveď. Číslo, ktoré vložíte, sa nazýva "vstup". Číslo, ktoré dostanete späť, sa nazýva "hodnota". Každý vstup, ktorý vložíte do Riemannovej zeta funkcie, vám vráti špeciálnu hodnotu. Väčšinou dostanete pre každý vstup inú hodnotu. Ale každý vstup vám dáva rovnakú hodnotu vždy, keď ho použijete. Vstup, ktorý zadáte, aj hodnota, ktorú dostanete z Riemannovej zeta funkcie, sú špeciálne čísla nazývané komplexné čísla. Komplexné číslo je číslo s dvoma časťami.
Čo je netriviálny koreň?
Niekedy, keď do Riemannovej zeta funkcie vložíte vstup, dostanete späť číslo nula. Keď sa to stane, nazývame tento vstup koreňom Riemannovej zeta funkcie. Vstup nazývate "koreňom", keď vám dáva nulu. Bolo nájdených veľa koreňov. Niektoré korene sa však hľadajú ľahšie ako iné. Tieto korene nazývame "triviálne" alebo "netriviálne". Koreň nazývame "triviálny", ak sa dá ľahko nájsť. Ale koreň nazývame "netriviálny", ak je ťažké ho nájsť. Triviálne korene sú čísla nazývané "záporné párne čísla". Za jednoduché ich považujeme preto, lebo sa dajú ľahko nájsť. Existujú presné pravidlá, ktoré hovoria, aké sú triviálne korene. Vieme, čo sú triviálne korene, pretože Bernhard Riemann dal rovnicu. Tá rovnica sa volala "Riemannova funkčná rovnica".
Ako nájdeme netriviálne korene?
Netriviálne korene sa hľadajú ťažšie. Nájsť ich je ťažšie ako triviálne korene. Nemajú rovnaké prehľadné pravidlá, ktoré by hovorili, čo sú zač. Aj keď sa ťažko hľadajú, našlo sa veľa netriviálnych koreňov. Nezabudnite, že hodnota Riemannovej zeta funkcie bola druhom čísla, ktoré sa nazýva komplexné číslo. A nezabudnite, že komplexné čísla majú dve časti. Jedna z týchto častí sa nazýva "reálna časť". Všimli sme si zaujímavú vec týkajúcu sa reálnej časti netriviálnych koreňov. Všetky netriviálne korene, ktoré sme našli, majú reálnu časť, ktorá je rovnaké číslo. Toto číslo je 1/2, čo je zlomok. To nás privádza k Riemannovej veľkej otázke, ktorá sa týka toho, aké veľké sú reálne časti. Táto otázka je Riemannovou hypotézou. Otázka znie: "Majú všetky netriviálne korene reálnu časť 1/2?". Stále sa snažíme zistiť, či je odpoveď "áno" alebo "nie".
Čo zatiaľ vieme?
Odpoveď na túto otázku zatiaľ nepoznáme. Vieme však niekoľko dobrých faktov. Tieto fakty nám môžu pomôcť. Existuje spôsob, ako môžeme zistiť fakty o skutočných častiach netriviálnych koreňov. Je to pomocou Riemannovej špeciálnej rovnice (Riemannovej funkcionálnej rovnice). Riemannova funkčná rovnica nám hovorí o veľkosti reálnych častí. Hovorí, že všetky netriviálne nuly majú reálnu časť blízku 1/2. Hovorí, aké malé môžu byť reálne časti a aké veľké môžu byť. Nehovorí však, aké presne sú. Konkrétne hovorí, že reálne časti musia byť väčšie ako 0. Ale musia byť menšie ako 1. Ale stále nevieme, či môže existovať netriviálny koreň s reálnou časťou veľmi blízkou 1/2. Možno existuje, len sme ho ešte nenašli. Skupina komplexných čísel, ktoré majú reálnu časť väčšiu ako 0, ale menšiu ako 1, sa nazýva "kritický pás".
Riemannova hypotéza na obrázku
Na obrázku v pravom hornom rohu tejto stránky je zobrazená Riemannova zeta funkcia. Netriviálne korene sú znázornené bielymi bodkami. Vyzerajú, akoby boli všetky v jednej línii úplne v strede obrázka. Nie sú príliš ďaleko vľavo a ani príliš ďaleko vpravo. Skutočnou súčasťou je to, ako ďaleko zľava doprava sa nachádzate. To, že sú v strede obrázka, znamená, že majú skutočnú časť 1/2. Takže všetky netriviálne korene na obrázku majú reálnu časť 1/2. Náš obrázok však nezobrazuje všetko, pretože Riemannova zeta funkcia je príliš veľká na to, aby sa dala zobraziť. Čo teda s netriviálnymi koreňmi nad a pod obrázkom? Boli by tiež v strede? Čo ak porušia zákonitosť toho, že sú v strede? Mohli by byť mierne vľavo alebo vpravo. Riemannova hypotéza sa pýta, či by každý netriviálny koreň (biela bodka) bol na priamke dole v strede. Ak je odpoveď nie, hovoríme, že "hypotéza je nepravdivá". To by znamenalo, že existujú biele body, ktoré nie sú na danej priamke.
Otázky a odpovede
Otázka: Čo je to Riemannova hypotéza?
Odpoveď: Riemannova hypotéza je matematická otázka (domnienka), ktorá kladie otázku o špeciálnej veci nazývanej Riemannova zeta funkcia.
Otázka: S akým typom matematiky súvisí Riemannova hypotéza?
Odpoveď: Riemannova hypotéza sa vzťahuje na čistú matematiku, čo je typ matematiky, ktorý je skôr o premýšľaní o matematike, než o snahe preniesť ju do reálneho sveta.
Otázka: Kto bol Bernhard Riemann?
Odpoveď: Bernhard Riemann bol muž, ktorý žil v 19. storočí a ktorého meno nesie táto hypotéza.
Otázka: Aký by bol výsledok, keby sa niekomu podarilo dokázať Riemannovu hypotézu?
Odpoveď: Ak by niekto dokázal Riemannovu hypotézu, matematici by sa dozvedeli viac o prvočíslach a o tom, ako ich nájsť.
Otázka: Koľko peňazí bolo ponúknutých za dôkaz tejto domnienky?
Odpoveď: Clay Mathematics Institute ponúkol 1 000 000 dolárov za dôkaz tejto domnienky.
Otázka: Existuje len jedna odpoveď na túto domnienku?
Odpoveď: Áno, na túto domnienku existujú len dve možné odpovede - "áno" alebo "nie".
