Brownov pohyb: náhodný pohyb častíc — definícia, príčiny a modely

Brownov pohyb: prehľadná definícia, príčiny a matematické modely — od Einsteina po stochastické procesy. Zistite, ako náhoda formuje pohyb častíc.

Brownov pohyb je náhodný pohyb častíc v kvapaline alebo plyne. Tento pohyb spôsobujú rýchlo sa pohybujúce atómy alebo molekuly, ktoré narážajú na častice. Brownov pohyb objavil v roku 1827 botanik Robert Brown. V roku 1827 si pri pozorovaní častíc zachytených v dutinách vo vnútri peľových zŕn vo vode cez mikroskop všimol, že častice sa vo vode pohybujú; nedokázal však zistiť, čo tento pohyb spôsobuje.

Dlho sa predpokladalo, že atómy a molekuly sú hlavnými časťami hmoty. Albert Einstein uverejnil v roku 1905 článok, v ktorom podrobne vysvetlil, že Brownov pozorovaný pohyb je výsledkom pohybu peľu jednotlivými molekulami vody. Bol to jeden z jeho prvých veľkých prínosov pre vedu a presvedčil mnohých vedcov, že atómy a molekuly existujú. V roku 1908 to experimentálne overil Jean Perrin. Perrinovi bola v roku 1926 udelená Nobelova cena za fyziku "za jeho prácu o diskontinuitnej štruktúre hmoty". Smer sily atómového bombardovania sa neustále mení a v rôznych časoch je častica zasiahnutá viac na jednej strane ako na druhej, čo vedie k zdanlivo náhodnému charakteru pohybu.

Existuje príliš veľa molekulárnych vplyvov, ktoré vytvárajú Brownov vzor, takže žiadny vedecký model ich nedokáže všetky zohľadniť. Preto sa na jeho opis dajú použiť len pravdepodobnostné modely molekulárnych populácií. Dva takéto modely štatistickej mechaniky, ktoré vytvorili Einstein a Smoluchowski, sú uvedené nižšie. Ďalším, čisto pravdepodobnostným druhom modelov sú modely stochastických procesov. Existujú jednoduchšie aj zložitejšie stochastické procesy, ktoré v extrémnych prípadoch ("vzaté do limitu") môžu opisovať Brownov pohyb (pozri náhodnú prechádzku a Donskerovu vetu).

Albert Einstein a Norbert Wiener tiež skúmali Brownov pohyb s väčšou matematickou presnosťou.

Fyzikálna príčina a charakteristika pohybu

Príčina: Brownov pohyb vzniká z neustálych nárazov okolitého média (molekúl kvapaliny alebo plynu) do väčších častíc (napr. peľu, prachu, nanočastíc). Každý náraz je malý a nepredvídateľný, ale súčet obrovského počtu takýchto nárazov vedie k zdanlivo náhodnému a nekorelovanému pohybu.

Časové režimy: - Pri veľmi krátkych časoch (mikro- až nanosekundy pri mikroskopických časticiach) môže byť pohyb balistický, kde dráha rastie približne ako t^2. - Pri dlhších časoch nastáva difúzny režim, kde stredná kvadratická dráha rastie lineárne s časom (t). Tento prechod závisí od hmotnosti častice, viskozity média a teploty.

Matematické modely

Einsteinov a Smoluchowského prístup: Einstein (1905) a Smoluchowski nezávisle ukázali, že termálne náhody vedú k difúzii a dali vzťah medzi difúznym koeficientom D a tepelnými vlastnosťami systému. Pre jednorozmerný pohyb platí pre priemeranú kvadratickú vzdialenosť (MSD): ⟨x^2(t)⟩ = 2 D t. Pre trojrozmerný priestor je analogicky ⟨r^2(t)⟩ = 6 D t.

Langevinova rovnica: Pre popis dynamiky častice s hmotnosťou m možno použiť stochastickú diferenciálnu rovnicu typu m dv/dt = -γ v + F(t), kde γ je trenie (damping) a F(t) je náhodná sila s nulovým priemerom. Tento prístup vysvetľuje prechod od balistického k difúznemu režimu a umožňuje výpočet korelácií rýchlosti.

Difúzna rovnica a Fickove zákony: Hromadný rozptyl partikulí opisuje difúzna rovnica ∂ρ/∂t = D ∇^2 ρ, kde ρ je koncentrácia a D difúzny koeficient. Tok častíc je daný Fickovým zákonom J = -D ∇ρ.

Stochastické procesy: V limitnom prechode náhodnej prechádzky so správným škálovaním sa získava Wienerov proces (Brownov pohyb v matematickom zmysle). Donskerova veta formálne spája diskrétnu náhodnú prechádzku s kontinuálnym Wienerovým procesom.

Kľúčové vzťahy a parametre

• Difúzny koeficient D: je centrálny parameter určujúci rýchlosť rozptylu. Pre sférické častice v Newtonovskej kvapaline platí Stokes–Einsteinov vzťah: D = k_B T / (6 π η a), kde k_B je Boltzmannova konštanta, T teplota, η viskozita média a a polomer častice.
• Stredná kvadratická dráha (MSD): v difúznom režime rastie lineárne s časom: ⟨r^2(t)⟩ ∝ t.
• Ballistický režim: pri veľmi krátkych časoch ⟨r^2(t)⟩ ∝ t^2.

Experimentálne overenie a meranie

Jean Perrin vykonal sériu experimentov (po Einsteinovom teoretickom vysvetlení), pri ktorých pozoroval rozdelenie častíc v gravitačnom poli a pomocou Brownovho pohybu odhadol Avogadrovu konštantu. Moderné metódy na meranie Brownovho pohybu zahŕňajú videomikroskopiu, dynamic light scattering (DLS), nanoparticle tracking analysis (NTA) a optické pasce. Tieto techniky umožňujú určiť D, veľkosť častíc a viskozitu okolia.

Aplikácie a význam

Brownov pohyb nie je len fyzikálnym fenoménom: jeho opis a modely majú široké využitie v rôznych oblastiach:

• v kolloidnej chémii a farmaceutike (stabilita suspenzií, disperzie);
• v biológii pri sledovaní pohybu bunkových organel, proteínov alebo vírusov v bunkovom prostredí;
• v mikrorheológii na meranie viskoelasticity prostredia pomocou pohybu vložených sond;
• v nanotechnológiách pri prenose a separácii nanočastíc;
• a dokonca aj v finančnom modelovaní, kde matematický model Brownovho pohybu (Wienerov proces) slúži ako základ pre modely náhodného vývoja cien.

Obmedzenia a rozšírenia

Skutočné systémy môžu vykazovať odchýlky od ideálneho Brownovho pohybu: prítomnosť hydrodynamických interakcií, ne-Newtonovských viskóznych efektov, členov "active matter" (samostatne poháňané častice) alebo silné medzipartiklové sily môžu spôsobiť anomalnú difúziu (MSD ∝ t^α s α ≠ 1). Pri analýze experimentálnych dát je preto dôležité brať do úvahy tieto faktory a vhodne zvoliť model (napr. kontinuálny časový random walk, frakcionálnu difúziu alebo modely s pamäťou).

Zhrnutie

Brownov pohyb je základný jav ilustrujúci spojenie medzi mikroskopickými tepelnými pohybmi molekúl a makroskopickým difúznym správaním častíc. Historicky pomohol potvrdiť existenciu atómov a molekúl a dnes tvoria jeho modely kľúčový nástroj v štatistickej mechanike, stochastike a v mnohých praktických odboroch vedy a techniky.

História

Vo vedeckej básni "O povahe vecí" (asi 60 pred n. l.) od Rimana Lucretia sa vo veršoch 113-140 z druhej knihy nachádza opis Brownovho pohybu prachových častíc. Používa ho na to, aby ľuďom pomohol s istotou zistiť existenciu atómov:

"Pozorujte, čo sa stane, keď sa do budovy vpustí slnečné svetlo a na jej tienistých miestach sa rozsvieti malá budova. Uvidíte množstvo drobných častíc, ktoré sa pohybujú rôznym spôsobom..."

Zatiaľ čo Jan Ingenhousz v roku 1785 opísal zvláštny pohyb častíc uhoľného prachu na hladine alkoholu, jeho objav sa často pripisuje botanikovi Robertovi Brownovi v roku 1827. Brown skúmal peľové zrná rastliny Clarkia pulchella zavesené vo vode pod mikroskopom, keď si všimol drobné čiastočky, ktoré peľové zrná vyvrhovali a vykonávali roztrasený pohyb. Zopakovaním experimentu s časticami anorganickej hmoty sa mu podarilo vylúčiť, že pohyb súvisí so životom, hoci jeho pôvod ešte nebol známy.

Prvý, kto opísal matematické princípy Brownovho pohybu, bol Thorvald N. Thiele v článku o metóde najmenších štvorcov uverejnenom v roku 1880. Po ňom nasledoval Louis Bachelier v roku 1900 vo svojej doktorandskej práci "Teória špekulácie", v ktorej predstavil analýzu akciových a opčných trhov. Často sa používa model Brownovho pohybu na akciovom trhu, ale Benoit Mandelbrot poprel jeho použiteľnosť na pohyb cien akcií.

Albert Einstein (v jednom zo svojich článkov z roku 1905) a Marian Smoluchowski (1906) upozornili fyzikov na riešenie tohto problému a prezentovali ho ako spôsob nepriameho potvrdenia existencie atómov a molekúl. Ich rovnice opisujúce Brownov pohyb boli overené experimentálnou prácou Jeana Baptista Perrina v roku 1908.

Z knihy Jeana Baptista Perrina Les Atomes sú zobrazené tri stopy pohybu častíc s veľkosťou 0,53 µm, ako ich vidíme pod mikroskopom. Postupné polohy každých 30 sekúnd sú spojené rovnými čiarami (veľkosť oka je 3,2 µm).

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to Brownov pohyb?

Otázka: Kto objavil Brownov pohyb?

Otázka: Ako Albert Einstein prispel k pochopeniu Brownovho pohybu?

Otázka: Kto experimentálne overil Einsteinovu teóriu?

Otázka: Ako vzniká tento náhodný vzor?

Hľadajte podľa písmena