Kružnica: definícia, vlastnosti, časti a význam v matematike
Prehľad kružnice a kruhu: definície, základné vzťahy (r, d, C, A), časti ako tetiva, oblúk, dotyčnica, stručná história π a praktické použitie v geometrii a technike.
Prehľad a základná definícia
Kružnica je množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od pevne daného stredu. Tento stály rozmer sa nazýva polomer a zvyčajne sa označuje písmenom r. Do bežnej reči sa často mieša pojem kruh, ktorý označuje zaplnenú oblasť obmedzenú kružnicou (disk), zatiaľ čo kružnica samotná je len obvodná čiara. Kruh je dvojrozmerný útvar a každý bod na jeho okraji leží vo vzdialenosti r od stredu. Ilustráciu nájdete tu: 
Galéria obrázkov
10 Obrázky
Časti kružnice a súvisiace pojmy
- Polomer (r) — úsečka zo stredu na kružnicu; dĺžka r.
- Priemer (d) — úsečka prechádzajúca stredom a dotýkajúca sa kružnice z oboch strán; d = 2r. (priemer)
- Tetiva — úsečka spájajúca dva body kružnice; pri tetive, ktorá prechádza stredom, ide o priemer.
- Oblúk — časť kružnice ohraničená dvoma bodmi.
- Dotyčnica — priamka, ktorá sa kružnice dotýka v jednom bode a je k nej kolmá v smere polomeru v dotyčnom bode (tangenta).
- Sektor — výseč medzi dvoma polomermi a príslušným oblúkom; segment — oblasť medzi tetivou a príslušným oblúkom.
Základné vzťahy a číslo π
Kruznica a kruh majú dve základné veličiny, ktoré sa bežne používajú: obvod kružnice (C) a plocha kruhu (A). Medzi nimi platia známe vzorce: C = 2·π·r = π·d a A = π·r·r. Číslo π (grécke písmeno pí) je konštanta pomeru obvodu k priemeru. V praxi sa používajú rýchle aproximácie, napríklad 22/7 alebo presnejšia 355/113, a decimálne rozvinutie začína 3,14159....
Historický kontext a vlastnosti π
Štúdium kružníc patrí medzi najstaršie oblasti geometrie; už starovekí matematici skúmali pomer obvodu a priemeru pomocou pravidelných mnohouholní. Slávnym prispievateľom bol staroveký grécký matematik Archimedes, ktorý postupmi s polygonmi získal užitočné odhady pre π. Dôležité moderné výsledky sú, že π je iracionálne (nedá sa vyjadriť ako zlomok dvoch celých čísel) a dokonca transcendentné (nie je riešením žiadnej polynomiálnej rovnice s celočíselnými koeficientmi). Tieto vlastnosti majú aj praktické dôsledky: nemožno skonštruovať klasickým pravítkom a kružidlom napríklad presné "deliace" konštrukcie súvisiace s úplným zmenšením kruha na štvorec.
Použitie a príklady významu
Kružnice a kruhy sú všadeprítomné v technike a prírode: od kolies a ozubených kolies, cez návrhy strojových častí, kruhové dráhy v astronómii až po grafický dizajn. V analytickej geometrii sa kružnica v rovine so stredom v bode (a, b) a polomerom r zapisuje rovnicou (x - a)² + (y - b)² = r² a slúži ako základný tvar pre trigonometrické súvislosti a transformácie. V praktických výpočtoch sa často používa zápis priemeru d namiesto r. (Pozri obvod a plocha.)
Rozdiely a dôležité poznámky
- Kružnica = iba obvodná čiara; kruh (disk) = oblasť vrátane vnútra.
- Pri jednoduchých konštrukciách postačuje poznať r alebo d; pri praktických meraniach sa používa aj priemer meraný cez stred.
- Presnosť výpočtov závisí od aproximácie π; v inžinierstve sa často používa hodnota s niekoľkými desatinnými miestami podľa potreby.
Pre ďalšie informácie o pojmoch a vzorcoch súvisiacich s kružnicou môžete postupovať podľa súvisiacich hesiel: kruh, dvojrozmerný, bod, vzdialenosť, polomer, priemer, obvod, π, grécke, písmeno, zlomok, plocha.
Výpočet π
π sa dá zmerať tak, že sa nakreslí veľký kruh a zmeria sa jeho priemer (d) a obvod (C). Je to preto, lebo obvod kruhu je vždy π-násobkom jeho priemeru.
π = C d {\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}} 
π sa dá vypočítať aj len pomocou matematických metód. Väčšina metód používaných na výpočet hodnoty π má žiaduce matematické vlastnosti. Sú však ťažko pochopiteľné bez znalosti trigonometrie a počtov. Niektoré metódy sú však pomerne jednoduché, ako napríklad tento tvar Gregoryho-Leibnizovho radu:
π = 4 1 - 4 3 + 4 5 - 4 7 + 4 9 - 4 11 ⋯ {\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}\cdots } 
Hoci sa tento rad ľahko zapisuje a počíta, nie je ľahké pochopiť, prečo sa rovná π. Ľahšie pochopiteľný prístup je nakresliť imaginárnu kružnicu s polomerom r so stredom v počiatku. Potom každý bod (x,y), ktorého vzdialenosť d od počiatku je menšia ako r, vypočítaný podľa Pytagorovej vety, bude vnútri kružnice:
d = x 2 + y 2 {\displaystyle d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} 
Nájdenie množiny bodov vnútri kružnice umožňuje odhadnúť plochu A kružnice. Napríklad pomocou celočíselných súradníc pre veľké r. Keďže plocha A kružnice je π násobkom štvorca polomeru, π možno aproximovať pomocou:
π = A r 2 {\displaystyle \pi ={\frac {A}{r^{2}}}} 
Súvisiace stránky
- Sféra
Otázky a odpovede
Otázka: Čo je to kruh?
Odpoveď: Kruh je okrúhly dvojrozmerný útvar. Všetky body na okraji kruhu sú v rovnakej vzdialenosti od stredu.
Otázka: Čo používajú matematici na vyjadrenie dĺžky polomeru kruhu?
Odpoveď: Matematici používajú písmeno r pre dĺžku polomeru kruhu.
Otázka: Čo sa v kruhoch zapisuje ako O?
Odpoveď: Stred kružnice sa často zapisuje ako O.
Otázka: Aká je dĺžka priemeru kružnice?
Odpoveď: Priemer (čo znamená "po celej dĺžke") kruhu je priamka, ktorá prechádza z jednej strany na opačnú a priamo stredom kruhu. Je rovný dvojnásobku jeho polomeru (d sa rovná 2-násobku r).
Otázka: Aké písmeno používajú matematici na označenie obvodu?
Odpoveď: Matematici používajú pre obvod písmeno C, čo znamená "dookola".
Otázka: Ako môžeme vypočítať plochu vnútri kruhu?
Odpoveď: Plochu A vnútri kruhu možno vypočítať tak, že vynásobíme jeho polomer ním samým a potom vynásobíme ً (A sa rovná ً krát r krát r).
Súvisiace články
Autor
AlegsaOnline.com Kružnica: definícia, vlastnosti, časti a význam v matematike Leandro Alegsa
URL: https://sk.alegsaonline.com/art/20445