V matematike je kompozícia funkcií spôsob, ako vytvoriť novú funkciu z dvoch (alebo viacerých) funkcií.
Nech f je funkcia z množiny X do množiny Y a nech g je funkcia z množiny Y do množiny Z. Potom g zložená s f, zapísaná ako g ∘ f, je funkcia z X do Z. (Všimnite si, že zápis g∘f vyzerá opačne, ako by to niekto očakával — symbol ∘ označuje „najprv aplikuj pravú, potom ľavú funkciu“.)
Hodnota f pri vstupe x sa zapisuje f(x). Hodnota kompozície g ∘ f pri vstupe x sa zapisuje (g ∘ f)(x) a je definovaná ako g(f(x)). Teda zápis g∘f má presný význam: najprv vypočítame f(x) a potom na tento výsledok aplikujeme g.
Ilustratívny príklad
Nech f je funkcia, ktorá zdvojnásobí číslo (vynásobí ho 2), a nech g je funkcia, ktorá od čísla odčíta 1 (t. j. zmenší ho o 1). Tieto funkcie zapíšeme ako:
f ( x ) = 2 x {\displaystyle f(x)=2x} 
g ( x ) = x - 1 {\displaystyle g(x)=x-1} 
g zložená s f — najprv zdvojnásobiť, potom odčítať 1 — dáva
( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {\displaystyle (g\circ f)(x)=2x-1} 
f zložená s g — najprv odčítať 1, potom zdvojnásobiť — dáva
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x - 1) = 2(x - 1) = 2x - 2.
Tento jednoduchý príklad ukazuje dôležitú vlastnosť: kompozícia nie je všeobecne komutatívna, teda zvyčajne platí (g∘f) ≠ (f∘g).
Základné vlastnosti kompozície
- Poradie aplikácie: V (g∘f)(x) sa najprv použije f, potom g.
- Asociativita: Pre tri funkcie f, g, h (pričom zmysel kompozície je dodržaný podľa ich definičných oborov) platí h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f. To znamená, že pri zložení viacerých funkcií nemusíme špecifikovať zátvorky.
- Ne-komutatívnosť: Vo všeobecnosti g ∘ f ≠ f ∘ g. To sme videli v príklade s f(x)=2x a g(x)=x−1.
- Identita: Pre každú množinu X existuje identita id_X: X → X taká, že pre každú funkciu f: X → Y platí id_Y ∘ f = f a f ∘ id_X = f.
- Invertibilita: Ak existuje funkcia g taká, že g ∘ f = id_X a f ∘ g = id_Y, potom f a g sú navzájom inverzné; obvykle zapisované f^{-1} = g.
- Vplyv na injektívnosť a surjektívnosť:
- Ak sú f a g injektívne, potom g ∘ f je injektívna.
- Ak sú f a g surjektívne, potom g ∘ f je surjektívna.
- Ak g ∘ f je injektívna, potom f musí byť injektívna (g naopak nemusí byť).
- Ak g ∘ f je surjektívna, potom g musí byť surjektívna (f naopak nemusí byť).
Definičný obor a obraz
Aby bola kompozícia g∘f definovaná, musí obraz (hodnoty) f ležať v definičnom obore funkcie g. Formálne: ak f: X → Y a g: Y → Z, tak g∘f: X → Z. Ak by obraz f nebol podmnožinou definičného oboru g, kompozícia by nebola dobre definovaná na celom X.
Aplikácie a ďalšie poznámky
- Analýza a diferenciálna počt: Pre derivácie platí tzv. reťazové pravidlo: ak sú f a g diferencovateľné, potom (g ∘ f)'(x) = g'(f(x)) · f'(x).
- Algebra funkcií: Kompozícia tvorí základ pre štúdium permutácií, morfizmov v kategóriách, transformácií a mnohých ďalších štruktúr v matematike.
- Upozornenie na zápis: Pri práci s kompozíciou je dobré trpezlivo sledovať poradie operácií — symbol ∘ vyjadruje „ľavá funkcia po pravej“. Niekedy sa, najmä v programovaní, používa opačný štýl (najprv aplikuj ľavú), preto sa uistite, aký konvenciu autor používa.
Kompozícia funkcií je teda jednoduchý, ale veľmi silný nástroj: umožňuje zostavovať zložitejšie mapovania z jednoduchších, pričom zachováva množstvo užitočných algebraických vlastností (ako asociativita či správanie pri inverzii), ktoré sú kľúčové v mnohých oblastiach matematiky.
