Kompozícia funkcií: definícia, príklady a základné vlastnosti

Kompozícia funkcií: jasná definícia, intuitívne príklady a základné vlastnosti s krok‑za‑krokom vysvetleniami. Naučte sa g∘f, poradie a praktické aplikácie.

V matematike je kompozícia funkcií spôsob, ako vytvoriť novú funkciu z dvoch (alebo viacerých) funkcií.

Nech f je funkcia z množiny X do množiny Y a nech g je funkcia z množiny Y do množiny Z. Potom g zložená s f, zapísaná ako g ∘ f, je funkcia z X do Z. (Všimnite si, že zápis g∘f vyzerá opačne, ako by to niekto očakával — symbol ∘ označuje „najprv aplikuj pravú, potom ľavú funkciu“.)

Hodnota f pri vstupe x sa zapisuje f(x). Hodnota kompozície g ∘ f pri vstupe x sa zapisuje (g ∘ f)(x) a je definovaná ako g(f(x)). Teda zápis g∘f má presný význam: najprv vypočítame f(x) a potom na tento výsledok aplikujeme g.

Ilustratívny príklad

Nech f je funkcia, ktorá zdvojnásobí číslo (vynásobí ho 2), a nech g je funkcia, ktorá od čísla odčíta 1 (t. j. zmenší ho o 1). Tieto funkcie zapíšeme ako:

f ( x ) = 2 x {\displaystyle f(x)=2x}

g ( x ) = x - 1 {\displaystyle g(x)=x-1}

g zložená s f — najprv zdvojnásobiť, potom odčítať 1 — dáva

( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {\displaystyle (g\circ f)(x)=2x-1}

f zložená s g — najprv odčítať 1, potom zdvojnásobiť — dáva

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x - 1) = 2(x - 1) = 2x - 2.

Tento jednoduchý príklad ukazuje dôležitú vlastnosť: kompozícia nie je všeobecne komutatívna, teda zvyčajne platí (g∘f) ≠ (f∘g).

Základné vlastnosti kompozície

• Poradie aplikácie: V (g∘f)(x) sa najprv použije f, potom g.
• Asociativita: Pre tri funkcie f, g, h (pričom zmysel kompozície je dodržaný podľa ich definičných oborov) platí h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f. To znamená, že pri zložení viacerých funkcií nemusíme špecifikovať zátvorky.
• Ne-komutatívnosť: Vo všeobecnosti g ∘ f ≠ f ∘ g. To sme videli v príklade s f(x)=2x a g(x)=x−1.
• Identita: Pre každú množinu X existuje identita id_X: X → X taká, že pre každú funkciu f: X → Y platí id_Y ∘ f = f a f ∘ id_X = f.
• Invertibilita: Ak existuje funkcia g taká, že g ∘ f = id_X a f ∘ g = id_Y, potom f a g sú navzájom inverzné; obvykle zapisované f^{-1} = g.
• Vplyv na injektívnosť a surjektívnosť:
  • Ak sú f a g injektívne, potom g ∘ f je injektívna.
  • Ak sú f a g surjektívne, potom g ∘ f je surjektívna.
  • Ak g ∘ f je injektívna, potom f musí byť injektívna (g naopak nemusí byť).
  • Ak g ∘ f je surjektívna, potom g musí byť surjektívna (f naopak nemusí byť).

Definičný obor a obraz

Aby bola kompozícia g∘f definovaná, musí obraz (hodnoty) f ležať v definičnom obore funkcie g. Formálne: ak f: X → Y a g: Y → Z, tak g∘f: X → Z. Ak by obraz f nebol podmnožinou definičného oboru g, kompozícia by nebola dobre definovaná na celom X.

Aplikácie a ďalšie poznámky

• Analýza a diferenciálna počt: Pre derivácie platí tzv. reťazové pravidlo: ak sú f a g diferencovateľné, potom (g ∘ f)'(x) = g'(f(x)) · f'(x).
• Algebra funkcií: Kompozícia tvorí základ pre štúdium permutácií, morfizmov v kategóriách, transformácií a mnohých ďalších štruktúr v matematike.
• Upozornenie na zápis: Pri práci s kompozíciou je dobré trpezlivo sledovať poradie operácií — symbol ∘ vyjadruje „ľavá funkcia po pravej“. Niekedy sa, najmä v programovaní, používa opačný štýl (najprv aplikuj ľavú), preto sa uistite, aký konvenciu autor používa.

Kompozícia funkcií je teda jednoduchý, ale veľmi silný nástroj: umožňuje zostavovať zložitejšie mapovania z jednoduchších, pričom zachováva množstvo užitočných algebraických vlastností (ako asociativita či správanie pri inverzii), ktoré sú kľúčové v mnohých oblastiach matematiky.

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to zloženie funkcie?

Otázka: Ako sa zapisuje hodnota g zložená z funkcie f?

Otázka: Aké sú príklady funkcií?

Otázka: Aký by bol príklad funkcie g zloženej z funkcie f?

Otázka: Čo by bolo príkladom funkcie f zloženej s funkciou g?

Otázka: Dá sa kompozícia zovšeobecniť aj na binárne vzťahy?

Hľadajte podľa písmena