Skladanie funkcií
V matematike je kompozícia funkcií spôsob, ako vytvoriť novú funkciu z dvoch iných funkcií.
Ak necháme f byť funkcia z X do Y a g je funkcia z Y do Z, potom hovoríme, že g zložená s f sa zapisuje ako g ∘ f funkcia z X do Z (všimnite si, že sa to zvyčajne zapisuje opačne, ako by ľudia očakávali, ako vysvetlíme nižšie).
Hodnota f daná vstupom x sa zapisuje ako f(x). Hodnota g ∘ f daná vstupom x sa zapisuje (g ∘ f)(x) a je definovaná ako g(f(x)) (čo znamená, že náš spôsob zápisu g zloženého s f má zmysel).
Tu je ďalší príklad. Nech f je funkcia, ktorá zdvojnásobí číslo (vynásobí ho 2), a nech g je funkcia, ktorá od čísla odčíta 1.
Tie by sa zapísali ako:
f ( x ) = 2 x {\displaystyle f(x)=2x} 
g ( x ) = x - 1 {\displaystyle g(x)=x-1} 
g zložená s f by bola funkcia, ktorá zdvojnásobí číslo a potom od neho odčíta 1:
( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {\displaystyle (g\circ f)(x)=2x-1} 
f zložená s g by bola funkcia, ktorá od čísla odčíta 1 a potom ho zdvojnásobí:
Vlastnosti
Kompozícia funkcií je preukázateľne asociatívna, čo znamená, že:
f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h {\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h} 
Kompozícia funkcií však vo všeobecnosti nie je komutatívna, čo znamená:
f ∘ g ≠ g ∘ f {\displaystyle f\circ g\neq g\circ f} 
Vidno to na prvom príklade, kde (g ∘ f)(2) = 2*2 - 1 = 3 a (f ∘ g)(2) = 2*(2-1) = 2.
Otázky a odpovede
Otázka: Čo je to zloženie funkcie?
Odpoveď: Kompozícia funkcie je spôsob, ako vytvoriť novú funkciu z dvoch iných funkcií prostredníctvom procesu podobného reťazcu.
Otázka: Ako sa zapisuje hodnota g zložená z funkcie f?
Odpoveď: Hodnota g zložená s f sa zapisuje ako (g ∘ f)(x) a je definovaná ako g(f(x)).
Otázka: Aké sú príklady funkcií?
Odpoveď: Príkladom môže byť funkcia, ktorá zdvojnásobí číslo (vynásobí ho 2), a iná, ktorá od čísla odčíta 1.
Otázka: Aký by bol príklad funkcie g zloženej z funkcie f?
Odpoveď: Príkladom funkcie g zloženej s f by mohla byť funkcia, ktorá zdvojnásobí číslo a potom od neho odčíta 1. To znamená (g ∘ f)(x)=2x-1.
Otázka: Čo by bolo príkladom funkcie f zloženej s funkciou g?
Odpoveď: Príkladom funkcie f zloženej s g by bola funkcia, ktorá od čísla odčíta 1 a potom ho zdvojnásobí, teda (f ∘ g)(x)=2(x-1).
Otázka: Dá sa kompozícia zovšeobecniť aj na binárne vzťahy?
Odpoveď: Áno, kompozíciu možno zovšeobecniť aj na binárne vzťahy, kde sa niekedy reprezentuje pomocou rovnakého symbolu (ako v R ∘ S).
