Hexaéder (šesťsten) — definícia a prehľad konvexných a konkávnych typov
Hexaéder (šesťsten) — definícia a prehľad konvexných a konkávnych typov: objavte klasifikáciu, príklady (kocka) a topologické rozdiely v praktickom sprievodcovi.
Šesťsten (v množnom čísle: šesťsteny) je ľubovoľný mnohosten so šiestimi stenami. Napríklad kocka je pravidelný šesťsten so všetkými štvorcovými stenami a tromi štvorcami okolo každého vrcholu.
Definícia a základné vlastnosti
Formálne je šesťsten polyédrom s F = 6 stenami. Pre každý konvexný mnohosten platí Eulerova vzťah V − E + F = 2, kde V je počet vrcholov a E počet hrán. Pre F = 6 dostávame
V − E + 6 = 2 ⇒ E = V + 4.
Tým pádom pre konvexný šesťsten platí, že počet vrcholov V môže nadobúdať hodnoty od 5 do 8 (prípomy z nerovností vyplývajúcich z minimálneho stupňa vrcholu a Eulerovho vzťahu). Každá z týchto hodnôt V zodpovedá inému kombinatorickému (topologickému) typu usporiadania stien a hrán.
Klasifikácia konvexných šesťstenov
Topologicky odlišných konvexných šesťstenov je sedem (ak sa zrkadlové tvary nespočítavajú spolu). Tieto typy sa líšia počtom vrcholov, rozdelením trojuholníkových a štvorcových (prípadne päťuholníkových) stien a spojením hrán. Zhruba ich možno charakterizovať podľa počtu vrcholov:
- V = 5: Existuje typ so 6 trojuholníkovými stenami — ide o trojuholníkový dipyramíd (dvojitá pyramída nad trojuholníkovým základom). Tento typ má najmenší možný počet vrcholov pre F = 6.
- V = 6: Tu sa objavujú tvary so zmesou trojuholníkových a štvorcových stien. Kombinatorika spojenia stien umožňuje niekoľko nenáhodných konfigurácií (niektoré steny môžu mať 3 alebo 4 hrany).
- V = 7: Ďalšie varianty so stále premenlivým pomerom troj- a štvoruholníkových stien; tvary sú topologicky odlišné od tých s V = 5 alebo V = 6.
- V = 8: Pri tejto hodnote môžu všetky steny byť štvoruholníky — medzi nimi je aj topológia kocky (a všeobecného hranola/kuboidu). Tento typ má obvykle ôsmich vrcholov a dvanásť hrán.
Jedna z týchto siedmich topologických tried je chirálna — existuje v dvoch zrkadlových (pravotočivej a ľavotočivej) formeách, ktoré nie sú navzájom prenositeľné len prostým otáčaním.
Konkávne šesťsteny
Okrem siedmich konvexných typov existujú ešte aspoň tri topologicky odlišné šesťsteny, ktoré je možné realizovať iba ako konkávne útvary. Konkávne šesťsteny majú vnútorný „zahĺbený“ uhol alebo zarezanie do vnútra telesa, vďaka čomu nie je možné danú topológiu zrealizovať konvexne bez sekania alebo zlomu stien. Typické príklady konkávnych tvarov zahŕňajú:
- „Domčekový“ tvar s jednou stenou vytvorenou z dvoch plošiek s vnútorným záhybom,
- tvary s prehĺbeným vrcholom alebo zarezávajúcou sa hranou,
- dalšie konfigurácie, kde niektoré tvary stien alebo ich susednosti nútia teleso byť konkávne.
Poznámky, dualita a použitie
- Dualita: Dualný polyéder k šesťstenu má 6 vrcholov; teda klasifikácia šesťstenov súvisí aj s možnými 6‑vrcholovými grafmi, ktoré sú planárne a 3‑spojité.
- Aplikácie: Šesťsteny sa často používajú v počítačovej grafike, pri delení domén v numerických metódach (elementy s prierezom šeststenu), v architektúre a modelovaní priestorových tvarov.
- Sieťovanie (nety): Pre každý topologický typ existujú rôzne rozvinutia (nety) tvorené šiestimi polygonálnymi dielcami; niektoré rozvinutia sú praktické pri výrobe alebo skladačke modelov.
- Poznámka k počítaniu: Ak pri sčítaní topologických typov započítame aj zrkadlové dvojice ako samostatné, počet tvarov sa zmení (napr. chirálna trieda prispieva dvoma). V literatúre sa preto uvádzajú čísla „s“ a „bez“ započítania zrkadiel.
Ak chcete, môžem doplniť schematické nákresy typických topologických tried, uviesť presné príklady šiestich stien podľa počtu hrán každej steny alebo poskytnúť praktické siete (nety) pre vybrané typy šesťstenov.
Súvisiace stránky
- Prismatoid
Otázky a odpovede
Otázka: Čo je to šesťsten?
Odpoveď: Šesťsten je mnohosten so šiestimi stenami.
Otázka: Môže sa kocka považovať za šesťsten?
Odpoveď: Áno, kocka je príkladom pravidelného šesťstena, ktorého všetky steny sú štvorcové a okolo každého vrcholu sú tri štvorce.
Otázka: Koľko je topologicky rôznych konvexných šesťstena?
Odpoveď: Existuje sedem topologicky rôznych konvexných šesťstena.
Otázka: Je možné, aby dva mnohosteny boli topologicky odlišné?
Odpoveď: Áno, dva mnohosteny môžu byť topologicky odlišné, ak majú rôzne usporiadanie stien a vrcholov, ktoré sa nedá zmeniť jednoduchou zmenou dĺžok hrán alebo uhlov medzi hranami alebo stenami.
Otázka: Koľko zrkadlových foriem existuje pre jeden zo siedmich topologicky odlišných konvexných šesťstenov?
Odpoveď: Jeden zo siedmich topologicky odlišných konvexných šesťstenov existuje v dvoch zrkadlovo obrátených formách.
Otázka: Existujú nejaké topologicky zreteľné šesťsteny, ktoré sa dajú realizovať len ako konkávne útvary?
Odpoveď: Áno, existujú tri topologicky odlišné šesťsteny, ktoré sa dajú realizovať len ako konkávne útvary.
Otázka: Môže byť jeden z topologicky zreteľných konvexných šesťstena deformovaný do jedného z topologicky zreteľných konkávnych šesťstena?
Odpoveď: Nie, nie je možné deformovať jeden z topologicky zreteľných konvexných šesťstena na jeden z topologicky zreteľných konkávnych šesťstena bez toho, aby sa zmenila základná povaha mnohostena.
Prehľadať