Hyperbola (matematika)
Hyperbola je typ kónického výseku. Podobne ako ostatné tri typy kužeľosečiek - paraboly, elipsy a kružnice - je to krivka vytvorená priesečníkom kužeľa a roviny. Hyperbola vznikne, keď rovina pretne obe polovice dvojitého kužeľa, čím vzniknú dve krivky, ktoré sa na seba presne podobajú, ale otvárajú sa v opačných smeroch. K tomu dochádza vtedy, keď uhol medzi osou kužeľa a rovinou je menší ako uhol medzi priamkou na strane kužeľa a rovinou.
Hyperboly možno nájsť na mnohých miestach v prírode. Napríklad objekt na otvorenej obežnej dráhe okolo iného objektu - kam sa nikdy nevráti - sa môže pohybovať v tvare hyperboly. Na slnečných hodinách je dráha, po ktorej sa v priebehu času pohybuje špička tieňa, hyperbola.
Jednou z najznámejších hyperbol je graf rovnice f ( x ) = 1 / x {\displaystyle f(x)=1/x}
.
Hyperbola je priesečník oboch polovíc dvojitého kužeľa a roviny.
Definície a rovnice
Dve nespojité krivky, ktoré tvoria hyperbolu, sa nazývajú ramená alebo vetvy.
Dva body, v ktorých sú vetvy najbližšie k sebe, sa nazývajú vrcholy. Čiara medzi týmito dvoma bodmi sa nazýva priečna os alebo hlavná os. Stred priečnej osi je stred hyperboly.
Vo veľkých vzdialenostiach od stredu sa vetvy hyperboly približujú k dvom priamkam. Tieto dve priamky sa nazývajú asymptoty. S rastúcou vzdialenosťou od stredu sa hyperbola k asymptotám stále viac približuje, ale nikdy ich nepretne.
Konjugovaná os alebo vedľajšia os je kolmá alebo zviera pravý uhol s priečnou osou. Koncové body konjugovanej osi sú vo výške, kde úsečka pretínajúca vrchol a kolmá na priečnu os pretína asymptoty.
Hyperbola, ktorá má stred v počiatku karteziánskej súradnicovej sústavy, čo je bod (0,0), a má priečnu os na osi x, sa dá zapísať ako rovnica
x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.} 
a je vzdialenosť medzi stredom a vrcholom. Dĺžka priečnej osi sa rovná 2a. b je dĺžka kolmej úsečky od vrcholu k asymptote. Dĺžka konjugovanej osi sa rovná 2b.
Dve vetvy uvedeného typu hyperboly sa otvárajú doľava a doprava. Ak sa vetvy otvárajú nahor a nadol a priečna os je na osi y, potom možno hyperbolu zapísať ako rovnicu
y 2 a 2 2 - x 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1.} 
Graf hyperboly (červené krivky). Asymptoty sú znázornené ako modré prerušované čiary. Stred je označený ako C a dva vrcholy sa nachádzajú v bodoch -a a a. Ohniská sú označené ako F1 a F2.
Hyperbolická trajektória
Hyperbolická trajektória je trajektória, po ktorej sa pohybuje objekt, ktorého rýchlosť je väčšia ako úniková rýchlosť planéty, družice alebo hviezdy. To znamená, že jeho orbitálna excentricita je väčšia ako 1. Po hyperbolickej trajektórii sa napríklad približujú meteory a po hyperbolickej trajektórii odlietajú medziplanetárne sondy.
Otázky a odpovede
Otázka: Čo je to hyperbola?
Odpoveď: Hyperbola je typ kužeľosečky, čo je krivka vytvorená priesečníkom kužeľa a roviny. Vznikne, keď rovina pretne obe polovice dvojitého kužeľa, čím vzniknú dve krivky, ktoré sa na seba presne podobajú, ale otvárajú sa v opačných smeroch.
Otázka: Ako sa vytvorí hyperbola?
Odpoveď: Hyperbola vznikne, keď rovina pretne obe polovice dvojitého kužeľa a vytvorí dve krivky, ktoré vyzerajú presne ako každá iná, ale sú otvorené v opačných smeroch. K tomu dochádza, keď uhol medzi osou kužeľa a rovinou je menší ako uhol medzi priamkou na strane kužeľa a rovinou.
Otázka: Kde v prírode môžeme nájsť príklady hyperboly?
Odpoveď: Hyperboly môžeme nájsť na mnohých miestach v prírode. Napríklad objekt na otvorenej obežnej dráhe okolo iného objektu - kde sa nikdy nevracia - sa môže pohybovať v tvare hyperboly. Na slnečných hodinách má dráha, ktorú sleduje špička tieňa v priebehu času, tiež tvar hyperboly.
Otázka: Ktorá rovnica opisuje jeden známy príklad hyperboly?
Odpoveď: Jeden známy príklad rovnice opisujúcej hyperbolu je f(x)=1/x .
Otázka: Aké sú niektoré ďalšie typy kužeľosečiek okrem hyperboly?
Odpoveď: Medzi ďalšie typy kužeľových výsekov patria paraboly, elipsy a kružnice.
Otázka: Ako sa tieto rôzne typy od seba líšia?
Odpoveď: Paraboly sú krivky v tvare písmena U s jedným vrcholovým bodom; elipsy sú oválne útvary s dvoma ohniskami; kružnice nemajú žiadne vrcholové ani ohniskové body; a napokon hyperboly majú dve samostatné zakrivené priamky, ktoré sa otvárajú von z ich stredového bodu pod rôznymi uhlami.
