Primitívna funkcia (neurčitá integrácia): definícia, vlastnosti a príklady
Naučte sa primitívne funkcie a neurčitú integráciu: definícia, kľúčové vlastnosti a príklady s postupmi krok za krokom pre rýchle pochopenie a precvičenie.
Antidiferenciácia (nazývaná aj neurčitá integrácia) je operácia v matematike, ktorá je v podstate inverznou operáciou k diferenciácii. Ak má funkcia f premenú x antiderivát F (alebo primitívnu funkciu), znamená to, že F′(x) = f(x) pre všetky x v príslušnom definičnom obore.
Antideriváty často poskytujú informácie o veľkosti (napríklad o akumulovanom množstve), preto sa používajú pri výpočte dráh, objemov, obsahu alebo pri riešení diferenciálnych rovníc. Antidiferenciácia sa aplikuje na výrazy a rovnice a výsledkom je funkcia nazývaná antiderivát alebo primitívna funkcia — ide o iný typ vyjadrenia pôvodnej úlohy, ktoré tiež možno považovať za špeciálnu rovnicu. Antidiferenciácia je úzko spojená s pojmom integrácia, pričom neurčitá integrácia znamená, že neuvádzame hranice integrácie (teda dostaneme rodinu funkcií rozdielnych o konštantu).
Bežná značka pre antiderivát je:
∫ x d x {\displaystyle \int x\ dx} 
Definícia a základné vlastnosti
Definícia: Funkcia F je antiderivát funkcie f na množine D, ak pre každé x v D platí F′(x) = f(x). Značí sa ∫ f(x)\,dx = F(x) + C, kde C je ľubovoľná konštanta (konštanta integrácie).
Základné vlastnosti:
- Lineárnosť: ∫(a f(x) + b g(x)) dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx pre konštanty a,b.
- Jedinečnosť do konštanty: Ak F a G sú antideriváty tej istej funkcie na súvislom intervale, potom F(x) − G(x) = konštanta.
- Existencia: Každá funkcia, ktorá je spojitá na intervale, má antiderivát na tom intervale (existencia vyplýva z integrálu a základnej vety integrálneho počtu). Pre funkcie s nepravidelnosťami môže byť situácia zložitejšia.
- Vzťah k určitému integrálu: Ak F je antiderivát f, potom pre a < b platí ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) (základná veta integrálneho počtu).
Základné vzorce (často používané antideriváty)
Niekoľko základných antiderivátov, ktoré sa často používajú:
- ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C, pre n ≠ −1
- ∫ 1/x dx = ln|x| + C (pre x ≠ 0)
- ∫ e^x dx = e^x + C
- ∫ sin x dx = −cos x + C
- ∫ cos x dx = sin x + C
- ∫ a^x dx = a^x / ln a + C (pre a > 0, a ≠ 1)
Príklady s postupom
1) ∫ x dx
Použijeme mocninové pravidlo s n = 1: ∫ x dx = x^2/2 + C.
2) ∫ x^3 dx
∫ x^3 dx = x^4/4 + C (použitie pravidla ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1)).
3) ∫ e^x dx
∫ e^x dx = e^x + C, lebo derivácia e^x je opäť e^x.
4) ∫ sin x dx
Hľadáme funkciu F takú, že F′(x) = sin x. Vieme, že (−cos x)' = sin x, preto ∫ sin x dx = −cos x + C.
5) ∫ 1/x dx
Pre x ≠ 0 platí ∫ 1/x dx = ln|x| + C (je tu dôležitý absolútny výraz, lebo logaritmus prirodzený berie len kladné argumenty).
Metódy pre zložitejšie integrály
Substitúcia (zmena premenných): Ak integrand obsahuje zloženú funkciu, často pomôže substitúcia u = g(x), dx = du/g′(x). Príklad: ∫ cos(2x) dx. Nech u = 2x, du = 2 dx, takže ∫ cos(2x) dx = (1/2) ∫ cos u du = (1/2) sin u + C = (1/2) sin(2x) + C.
Parciálne integrovanie (často nazývané integrácia per partes): Použije sa, ak integrand je súčinom dvoch funkcií. Vzorec: ∫ u dv = u v − ∫ v du. Príklad: ∫ x e^x dx. Nech u = x (du = dx) a dv = e^x dx (v = e^x). Potom ∫ x e^x dx = x e^x − ∫ e^x dx = x e^x − e^x + C = e^x (x − 1) + C.
Upozornenia a tipy
- Pri práci s antiderivátmi treba dbať na definičný obor funkcie; niektoré vzorce (napr. ln|x|) vyžadujú, aby sa riešil výraz na správnych intervaloch.
- Neurčitý integrál vždy obsahuje +C — bez nej opisujeme len jednu konkrétnu antideriváciu. Pri výpočte určitého integrálu sa táto konštanta vyruší (F(b) − F(a)).
- Niekedy treba konštruovať antiderivát v častiach (piecewise), ak funkcia mení definíciu na rôznych intervaloch.
Antidiferenciácia je základný nástroj v analýze a aplikovaných vedách. Znalosť základných vzorcov, pochopenie lineárnosti a zvládnutie metód substitúcie a parciálneho integrovana výrazne uľahčí nájdenie antiderivátov aj pre komplikovanejšie výrazy.
Jednoduchá integrácia
Ak chcete integrovať a x n {\displaystyle ax^{n}} 
- Pridajte 1 na mocninu n {\displaystyle n}
takže a x n {\displaystyle ax^{n}} je teraz a x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}} 
- Všetko to vydelíme novou mocninou, takže teraz je to a x n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}
- Pridajte konštantu c {\displaystyle c}
, takže teraz je to a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} 
To možno znázorniť ako:
∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} 
Ak je veľa x {\displaystyle x}
členov, integrujte každú časť samostatne:
∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c} 
(Funguje to len vtedy, ak sa časti pridávajú alebo odoberajú.)
Príklady
∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c} 
∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}}+c} 
∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c} 
Zmena zlomkov a koreňov na mocniny to uľahčuje:
∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c} 
∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c} 
Integrácia zátvorky ("reťazové pravidlo")
Ak chcete integrovať zátvorku ako ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}} 
, musíme to urobiť iným spôsobom. Nazýva sa reťazové pravidlo. Je to ako jednoduché integrovanie. Funguje len vtedy, ak x {\displaystyle x} v zátvorke má mocninu 1 (je lineárna), napríklad x {\displaystyle x} alebo 5 x {\displaystyle 5x} 
(nie x 5 {\displaystyle x^{5}} 
alebo x - 7 {\displaystyle x^{-7}} 
).
Ak chcete ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} 
- Pridajte 1 k mocnine 3 {\displaystyle 3}
, takže teraz je to ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle (2x+4)^{4}} 
- Vydelíme to všetko novou mocninou a dostaneme ( 2 x + 4 ) 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}
- To všetko vydeľte deriváciou zátvorky ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}
aby sme dostali ( 2 x + 4 ) 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}} 
- Pridajte konštantu c {\displaystyle c} a dostanete 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}
Príklady
∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)} 
∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}} dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\pretože {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)} 
Súvisiace stránky
Otázky a odpovede
Otázka: Čo je to antidiferenciácia?
Odpoveď: Antidiferenciácia (nazývaná aj neurčitá integrácia) je proces hľadania určitej funkcie v počtoch. Je opakom diferenciácie a spočíva v spracovaní funkcie tak, aby vznikla iná funkcia (alebo trieda funkcií), ktorá sa nazýva antiderivát.
Otázka: Ako sa znázorňuje?
Odpoveď: Keď sa antideriváty reprezentujú jednotlivými písmenami, majú často podobu veľkých rímskych písmen, napríklad F a G. Vo všeobecnosti sa antiderivát zapisuje v tvare ∫f(x) dx.
Otázka: Čo zahŕňa antidiferenciácia?
Odpoveď: Antidiferenciácia zahŕňa spracovanie funkcie tak, aby vznikla iná funkcia (alebo trieda funkcií) nazývaná antiderivát.
Otázka: Čím sa líši od integrácie?
Odpoveď: Antidiferenciácia sa od integrácie líši tým, že nezahŕňa limity - preto sa označuje ako neurčitá integrácia.
Otázka: Aké sú príklady, ako sa dá vyjadriť antidiferenciácia?
Odpoveď: Medzi príklady, ako sa dá vyjadriť antidiferenciácia, patria F a G, keď sú reprezentované ako jednotlivé písmená, alebo ∫f(x) dx, keď sú zapísané vo všeobecnom tvare.
Prehľadať