Primitívna funkcia

Antidiferenciácia (nazývaná aj neurčitá integrácia) je vec, ktorá sa vykonáva v matematike. Je to opak diferenciácie.

Antideriváty vám môžu vo všeobecnosti povedať niečo o veľkosti. Antidiferenciácia sa vykonáva na veciach, ako sú rovnice. Antidiferenciácia vám dáva vec nazývanú antiderivát. Antiderivát je iný druh rovnice. Antidiferenciácia je ako integrácia, ale bez obmedzení. Preto sa nazýva neurčitá.

Antiderivát sa zapisuje ako ∫ x d x {\displaystyle \int x\ dx} {\displaystyle \int x\ dx}

Jednoduchá integrácia

Ak chcete integrovať a x n {\displaystyle ax^{n}} {\displaystyle ax^{n}}

  • Pridajte 1 na mocninu n {\displaystyle n} ntakže a x n {\displaystyle ax^{n}}{\displaystyle ax^{n}} je teraz a x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}} {\displaystyle ax^{n+1}}
  • Všetko to vydelíme novou mocninou, takže teraz je to a x n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}} {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}
  • Pridajte konštantu c {\displaystyle c}{\displaystyle c} , takže teraz je to a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

To možno znázorniť ako:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Ak je veľa x {\displaystyle x}x členov, integrujte každú časť samostatne:

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c} {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

(Funguje to len vtedy, ak sa časti pridávajú alebo odoberajú.)

Príklady

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c} {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}}+c} {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c} {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

Zmena zlomkov a koreňov na mocniny to uľahčuje:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c} {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c} {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}

Integrácia zátvorky ("reťazové pravidlo")

Ak chcete integrovať zátvorku ako ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}} {\displaystyle (2x+4)^{3}}, musíme to urobiť iným spôsobom. Nazýva sa reťazové pravidlo. Je to ako jednoduché integrovanie. Funguje len vtedy, ak x {\displaystyle x} xv zátvorke má mocninu 1 (je lineárna), napríklad x {\displaystyle x} xalebo 5 x {\displaystyle 5x} {\displaystyle 5x}(nie x 5 {\displaystyle x^{5}} {\displaystyle x^{5}}alebo x - 7 {\displaystyle x^{-7}} {\displaystyle x^{-7}}).

Ak chcete ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx}

  • Pridajte 1 k mocnine 3 {\displaystyle 3}{\displaystyle 3} , takže teraz je to ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle (2x+4)^{4}} {\displaystyle (2x+4)^{4}}
  • Vydelíme to všetko novou mocninou a dostaneme ( 2 x + 4 ) 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}} {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}
  • To všetko vydeľte deriváciou zátvorky ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)} {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}aby sme dostali ( 2 x + 4 ) 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}} {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}
  • Pridajte konštantu c {\displaystyle c}{\displaystyle c} a dostanete 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c} {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

Príklady

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)} {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}} dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\pretože {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)} {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}

Súvisiace stránky

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to antidiferenciácia?


Odpoveď: Antidiferenciácia (nazývaná aj neurčitá integrácia) je proces hľadania určitej funkcie v počtoch. Je opakom diferenciácie a spočíva v spracovaní funkcie tak, aby vznikla iná funkcia (alebo trieda funkcií), ktorá sa nazýva antiderivát.

Otázka: Ako sa znázorňuje?


Odpoveď: Keď sa antideriváty reprezentujú jednotlivými písmenami, majú často podobu veľkých rímskych písmen, napríklad F a G. Vo všeobecnosti sa antiderivát zapisuje v tvare ∫f(x) dx.

Otázka: Čo zahŕňa antidiferenciácia?


Odpoveď: Antidiferenciácia zahŕňa spracovanie funkcie tak, aby vznikla iná funkcia (alebo trieda funkcií) nazývaná antiderivát.

Otázka: Čím sa líši od integrácie?


Odpoveď: Antidiferenciácia sa od integrácie líši tým, že nezahŕňa limity - preto sa označuje ako neurčitá integrácia.

Otázka: Aké sú príklady, ako sa dá vyjadriť antidiferenciácia?


Odpoveď: Medzi príklady, ako sa dá vyjadriť antidiferenciácia, patria F a G, keď sú reprezentované ako jednotlivé písmená, alebo ∫f(x) dx, keď sú zapísané vo všeobecnom tvare.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3