Antidiferenciácia (nazývaná aj neurčitá integrácia) je operácia v matematike, ktorá je v podstate inverznou operáciou k diferenciácii. Ak má funkcia f premenú x antiderivát F (alebo primitívnu funkciu), znamená to, že F′(x) = f(x) pre všetky x v príslušnom definičnom obore.

Antideriváty často poskytujú informácie o veľkosti (napríklad o akumulovanom množstve), preto sa používajú pri výpočte dráh, objemov, obsahu alebo pri riešení diferenciálnych rovníc. Antidiferenciácia sa aplikuje na výrazy a rovnice a výsledkom je funkcia nazývaná antiderivát alebo primitívna funkcia — ide o iný typ vyjadrenia pôvodnej úlohy, ktoré tiež možno považovať za špeciálnu rovnicu. Antidiferenciácia je úzko spojená s pojmom integrácia, pričom neurčitá integrácia znamená, že neuvádzame hranice integrácie (teda dostaneme rodinu funkcií rozdielnych o konštantu).

Bežná značka pre antiderivát je:

∫ x d x {\displaystyle \int x\ dx} {\displaystyle \int x\ dx}

Definícia a základné vlastnosti

Definícia: Funkcia F je antiderivát funkcie f na množine D, ak pre každé x v D platí F′(x) = f(x). Značí sa ∫ f(x)\,dx = F(x) + C, kde C je ľubovoľná konštanta (konštanta integrácie).

Základné vlastnosti:

  • Lineárnosť: ∫(a f(x) + b g(x)) dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx pre konštanty a,b.
  • Jedinečnosť do konštanty: Ak F a G sú antideriváty tej istej funkcie na súvislom intervale, potom F(x) − G(x) = konštanta.
  • Existencia: Každá funkcia, ktorá je spojitá na intervale, má antiderivát na tom intervale (existencia vyplýva z integrálu a základnej vety integrálneho počtu). Pre funkcie s nepravidelnosťami môže byť situácia zložitejšia.
  • Vzťah k určitému integrálu: Ak F je antiderivát f, potom pre a < b platí ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) (základná veta integrálneho počtu).

Základné vzorce (často používané antideriváty)

Niekoľko základných antiderivátov, ktoré sa často používajú:

  • ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C, pre n ≠ −1
  • ∫ 1/x dx = ln|x| + C (pre x ≠ 0)
  • ∫ e^x dx = e^x + C
  • ∫ sin x dx = −cos x + C
  • ∫ cos x dx = sin x + C
  • ∫ a^x dx = a^x / ln a + C (pre a > 0, a ≠ 1)

Príklady s postupom

1) ∫ x dx
Použijeme mocninové pravidlo s n = 1: ∫ x dx = x^2/2 + C.

2) ∫ x^3 dx
∫ x^3 dx = x^4/4 + C (použitie pravidla ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1)).

3) ∫ e^x dx
∫ e^x dx = e^x + C, lebo derivácia e^x je opäť e^x.

4) ∫ sin x dx
Hľadáme funkciu F takú, že F′(x) = sin x. Vieme, že (−cos x)' = sin x, preto ∫ sin x dx = −cos x + C.

5) ∫ 1/x dx
Pre x ≠ 0 platí ∫ 1/x dx = ln|x| + C (je tu dôležitý absolútny výraz, lebo logaritmus prirodzený berie len kladné argumenty).

Metódy pre zložitejšie integrály

Substitúcia (zmena premenných): Ak integrand obsahuje zloženú funkciu, často pomôže substitúcia u = g(x), dx = du/g′(x). Príklad: ∫ cos(2x) dx. Nech u = 2x, du = 2 dx, takže ∫ cos(2x) dx = (1/2) ∫ cos u du = (1/2) sin u + C = (1/2) sin(2x) + C.

Parciálne integrovanie (často nazývané integrácia per partes): Použije sa, ak integrand je súčinom dvoch funkcií. Vzorec: ∫ u dv = u v − ∫ v du. Príklad: ∫ x e^x dx. Nech u = x (du = dx) a dv = e^x dx (v = e^x). Potom ∫ x e^x dx = x e^x − ∫ e^x dx = x e^x − e^x + C = e^x (x − 1) + C.

Upozornenia a tipy

  • Pri práci s antiderivátmi treba dbať na definičný obor funkcie; niektoré vzorce (napr. ln|x|) vyžadujú, aby sa riešil výraz na správnych intervaloch.
  • Neurčitý integrál vždy obsahuje +C — bez nej opisujeme len jednu konkrétnu antideriváciu. Pri výpočte určitého integrálu sa táto konštanta vyruší (F(b) − F(a)).
  • Niekedy treba konštruovať antiderivát v častiach (piecewise), ak funkcia mení definíciu na rôznych intervaloch.

Antidiferenciácia je základný nástroj v analýze a aplikovaných vedách. Znalosť základných vzorcov, pochopenie lineárnosti a zvládnutie metód substitúcie a parciálneho integrovana výrazne uľahčí nájdenie antiderivátov aj pre komplikovanejšie výrazy.