Imaginárne jednotky

V matematike sú imaginárne jednotky alebo i čísla, ktoré sa dajú reprezentovať rovnicami, ale vzťahujú sa na hodnoty, ktoré by v reálnom živote nemohli fyzicky existovať. Matematická definícia imaginárnej jednotky je i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} $i={\sqrt {-1}}$ , ktorá má vlastnosť i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\times i=i^{2}=-1} $i\times i=i^{2}=-1$ .

Dôvodom vytvorenia i bola odpoveď na polynomickú rovnicu x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} $x^{2}+1=0$ , ktorá normálne nemá riešenie, pretože hodnota x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ by sa musela rovnať -1. Hoci je úloha riešiteľná, odmocnina z -1 by v reálnom živote nemohla byť reprezentovaná fyzikálnou veličinou žiadneho objektu.

Druhá odmocnina z i

Niekedy sa predpokladá, že na zobrazenie druhej odmocniny z i je potrebné vytvoriť ďalšie číslo, ale to nie je potrebné. Druhú odmocninu z i možno zapísať takto: i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)} ${\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$ .
Toto možno ukázať ako:

( ± 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ } $\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	= ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ } $=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	= ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\ } $=(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\$
	= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ } $=1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\$
	= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ } $={\frac {1}{2}}(2i)\$
	= i {\displaystyle =i\ } $=i\$

Mocniny i

Mocniny i sa riadia predvídateľným vzorcom:

i - 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i} $i^{-3}=i$

i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1} $i^{-2}=-1$

i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i} $i^{-1}=-i$

i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1} $i^{0}=1$

i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i} $i^{1}=i$

i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} $i^{2}=-1$

i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i} $i^{3}=-i$

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1} $i^{4}=1$

i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i} $i^{5}=i$

i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1} $i^{6}=-1$

To možno ukázať pomocou nasledujúceho vzoru, kde n je ľubovoľné celé číslo:

i 4 n = 1 {\displaystyle i^{4n}=1} $i^{4n}=1$

i 4 n + 1 = i {\displaystyle i^{4n+1}=i} $i^{4n+1}=i$

i 4 n + 2 = - 1 {\displaystyle i^{4n+2}=-1} $i^{4n+2}=-1$

i 4 n + 3 = - i {\displaystyle i^{4n+3}=-i} $i^{4n+3}=-i$

Súvisiace stránky

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to imaginárna jednotka?

Odpoveď: Imaginárna jednotka je číselná hodnota, ktorá existuje len mimo reálnych čísel a používa sa v algebre.

Otázka: Ako používame imaginárnu jednotku?

Odpoveď: Imaginárnu jednotku vynásobíme reálnym číslom a vytvoríme imaginárne číslo.

Otázka: Na čo sa imaginárne čísla používajú?

Odpoveď: Imaginárne čísla sa dajú použiť na riešenie mnohých matematických problémov.

Otázka: Môžeme imaginárne číslo znázorniť pomocou reálnych predmetov?

Odpoveď: Nie, imaginárne číslo nemôžeme reprezentovať reálnymi predmetmi.

Otázka: Odkiaľ pochádza imaginárna jednotka?

Odpoveď: Imaginárna jednotka pochádza z matematiky a algebry.

Otázka: Je imaginárna jednotka súčasťou reálnych čísel?

Odpoveď: Nie, existuje mimo oblasti reálnych čísel.

Otázka: Ako sa vypočíta imaginárne číslo? Odpoveď: Imaginárne číslo sa vypočíta vynásobením reálneho čísla imaginárnou jednotkou.