Svetelné hodiny

Svetelné hodiny sú jednoduchým spôsobom, ako ukázať základnú vlastnosť špeciálnej teórie relativity. Hodiny fungujú tak, že odrazia svetelný záblesk od vzdialeného zrkadla a pomocou jeho návratu spustia ďalší svetelný záblesk, pričom medzitým spočítajú, koľko zábleskov sa po ceste vyskytlo. Je ľahké ukázať, že ľudia na Zemi, ktorí by pozorovali vesmírnu loď letiacu nad hlavou s takýmito hodinami, by videli, že tikajú relatívne pomaly. Tento efekt sa nazýva dilatáciačasu.

Skôr ako začneme študovať svetelné hodiny, zvážme iný druh relativity. Predstavte si, že niekto dribluje s basketbalovou loptou v batožinovom priestore veľkého dopravného lietadla. Basketbalista sa pohybuje rovnakým smerom ako prúdové lietadlo. Ostatní ľudia v lietadle vidia, že sa pri jednom driblingu posunul o meter alebo dva. Medzi prvým a druhým odrazom lopty uplynie približne jedna sekunda. Ale keď došlo k prvému odrazu, basketbalová lopta bola nad Gibraltárom, a keď došlo k druhému odrazu, basketbalová lopta bola nad vodou bližšie k Španielsku. Takže basketbalová lopta sa vzhľadom na Zem posunula o 280 metrov.

Teraz sa zamyslime nad podobnou otázkou relatívneho pohybu. Tentoraz sa budeme zaoberať tým, čo vidia ľudia, ktorí sa pozerajú na hviezdy zo severného pólu, keď nad nimi preletí veľmi rýchla vesmírna loď. Pomocou algebry a Pytagorovej vety môžeme vypočítať, o koľko sa spomalí čas vesmírnej lode. Jediná ďalšia vec, ktorú potrebujeme, je rovnica, ktorá spája vzdialenosť, d, mieru alebo rýchlosť pohybu, r, a čas, t. Rovnica znie:

d = rt

Rýchlosť svetla je konštantná, takže túto hodnotu použijeme na dva problémy. Rýchlosť svetla budeme nazývať c, pretože toto písmeno vedci zvyčajne používajú na jej pomenovanie.

Hodiny sa vyrobia tak, že sa na spodok dlhého stĺpa umiestni svetelný výstup, na vrchol stĺpa sa umiestni zrkadlo a na spodok stĺpa sa umiestni elektronický detektor svetla. Hodiny sa spustia krátkym zopnutím spínača, ktorý vyšle jedno bliknutie svetla zo spodnej časti tyče na vrchol tyče, kde sa odrazí späť na spodnú časť tyče. Keď detektor svetla v spodnej časti stĺpa uvidí bliknutie svetla, urobí dve veci. Pripočíta jednotku k počítadlu, ktoré je k nemu pripojené, a vystrelí ďalší blikot svetla nahor k zrkadlu. Keď sa toto bliknutie svetla vráti späť na spodok, počet sa zmení na dva a spustí sa ďalšie bliknutie svetla. Keďže svetlo sa pohybuje veľmi rýchlo (300 000 km/s), za každú sekundu meranú bežnými hodinami "tiknú" svetelné hodiny veľmi veľký početkrát.

Pre jednoduchšiu matematiku povieme, že tyč je dlhá pol kilometra. Ak teda stojíme pri svetelných hodinách, ktoré sú postavené vedľa veľkého teleskopu na severnom póle, uvidíme, že svetlo prejde jeden kilometer na každé "tiknutie" svetelných hodín. Keďže prejdená vzdialenosť d sa rovná rýchlosti vynásobenej časom a príslušná rýchlosť je c, máme rovnicu:

d = ct

a túto rovnicu môžeme vyriešiť pre t, aby sme zistili, ako dlho v sekundách trvá každý "tik".

1 km = 300 000 km/sekundu * t sekúnd

t sekúnd = 1 km/300 000 (km/sekundu) = 1/300 000 sekúnd = 0,00000333...3 sekúnd

Inými slovami, každé "tiknutie" svetelných hodín trvá 0,00000333...3 sekundy.

Ak by vesmírna loď letela po priamke prechádzajúcej ponad severný pól veľkou časťou rýchlosti svetla a mala by podobné hodiny, ľudia, ktorí by sledovali jej prelet, by videli, že zrkadlo na vrchole pólu sa presunulo priamo nad vyžarujúce svetlo, takže svetlo by sa pohybovalo po priamke označenej h na obrázku a potom by sa po druhej hypotenuse vrátilo späť k základni pólu - ktorý by sa už medzitým posunul o určitú vzdialenosť, keďže vesmírna loď sa pohybuje tak rýchlo. Môžeme si vypočítať, koľko času by podľa ľudí na Zemi trval jeden tik. Vieme, že pól kozmickej lode má dĺžku a, pretože ide o rovnaký druh hodín, aké používajú ľudia na severnom póle. Chceme zistiť t' , čas, ktorý je potrebný na jedno tiknutie hodín na vesmírnej lodi.

Vieme, že kozmická loď prejde 1/2 r t', kým svetelný záblesk smeruje nahor k zrkadlu, a ďalšiu 1/2 r t', kým svetelný záblesk smeruje nadol k základni pólu. Takže tento výpočet nám dáva dĺžku čiary b v grafe. Poznáme a, takže vieme vypočítať h pomocou Pytagorovej vety:

h = √(a2 + (rt' /2)²)

Takže celková vzdialenosť, ktorú svetlo prejde, je 2 h alebo d = 2 √(a2 + (rt' /2)²)

Vieme tiež, že rýchlosť svetla c je konštantná. Bez ohľadu na to, kto ju meria, ukazuje sa, že je to rovnaká rýchlosť. Túto skutočnosť teda môžeme využiť na iný spôsob výpočtu, ako vypočítať, za aký čas prejde záblesk svetla od základne k vrcholu tyče a späť:

t' = d/c

Inými slovami, d = c t' .

Môžeme teda napísať

c t' = 2 √(a2 + (rt' /2)²)

alebo

1/2 c t' = √(a2 + (rt' /2)²)

Na vyriešenie uvedenej rovnice budeme potrebovať:

1. Štvorec na oboch stranách
2. Obe strany vydeľte číslom t' ²
3. Vynásobte obe strany číslom 4
4. Obe strany vydeľte číslom c2
5. Zjednodušte c2 / c2
6. Odpočítajte r2/c2 od oboch strán
7. Zoberte druhú odmocninu z oboch strán
8. Obe strany vynásobte t'
9. Obe strany vydelíme √(1-r2/c2)

Vyriešením uvedenej rovnice zistíme, že:

t' = 2a/(c√(1-r2/c2)

Čas medzi tikmi hodín na severnom póle je 2a/c, takže môžeme napísať:

t' = t/√(1-r2/c2)

Ak t = 1 sekunda, potom ak sa vesmírna loď pohybuje polovičnou rýchlosťou svetla, t' = 1,1547 s.

Experimentujte s rôznymi rýchlosťami jazdy na: http://www.1728.org/reltivty.htm

Otázky a odpovede

Otázka: Čo sú to svetelné hodiny?

Otázka: Čo je to dilatácia času?

Otázka: Ako môžeme vypočítať, o koľko sa spomalí čas na vesmírnej lodi?

Otázka: Ako fungujú svetelné hodiny?

Otázka: Akú rovnicu potrebujeme na tento výpočet?

Otázka: Ako súvisí Pytagorova veta s týmto výpočtom?

Hľadajte podľa písmena