Špeciálna teória relativity

Základy špeciálnej teórie relativity

Predpokladajme, že sa pohybujete smerom k niečomu, čo sa pohybuje smerom k vám. Ak zmeriate jej rýchlosť, bude sa vám zdať, že sa pohybuje rýchlejšie, ako keby ste sa nepohybovali. Teraz predpokladajme, že sa pohybujete smerom od niečoho, čo sa pohybuje k vám. Ak opäť zmeriate jeho rýchlosť, bude sa vám zdať, že sa pohybuje pomalšie. Toto je myšlienka "relatívnej rýchlosti" - rýchlosť objektu vzhľadom na vás.

Pred Albertom Einsteinom sa vedci pokúšali zmerať "relatívnu rýchlosť" svetla. Robili to tak, že merali rýchlosť svetla hviezd, ktoré dopadá na Zem. Očakávali, že ak sa Zem pohybuje smerom k hviezde, svetlo z tejto hviezdy by sa malo zdať rýchlejšie, ako keď sa Zem od tejto hviezdy vzďaľuje. Všimli si však, že bez ohľadu na to, kto robil pokusy, kde sa pokusy robili alebo aké svetlo z hviezdy sa použilo, nameraná rýchlosť svetla vo vákuu bola vždy rovnaká.

Einstein povedal, že sa to deje preto, lebo na dĺžke a trvaní, teda na tom, ako dlho niečo trvá, je niečo neočakávané. Myslel si, že ako sa Zem pohybuje vesmírom, všetky merateľné trvania sa veľmi mierne menia. Akékoľvek hodiny použité na meranie trvania sa pomýlia presne o toľko, aby rýchlosť svetla zostala rovnaká. Predstaviť si "svetelné hodiny" nám umožňuje lepšie pochopiť túto pozoruhodnú skutočnosť pre prípad jednej svetelnej vlny.

Einstein tiež povedal, že pri pohybe Zeme vesmírom sa všetky merateľné dĺžky (stále mierne) menia. Každé zariadenie na meranie dĺžky udáva dĺžku presne o toľko, aby rýchlosť svetla zostala rovnaká.

Najťažšie je pochopiť, že udalosti, ktoré sa javia ako simultánne v jednom rámci, nemusia byť simultánne v inom rámci. To má mnoho dôsledkov, ktoré nie je ľahké vnímať alebo pochopiť. Keďže dĺžka objektu je vzdialenosť od hlavy po chvost v jednom simultánnom okamihu, vyplýva z toho, že ak sa dvaja pozorovatelia nezhodnú na tom, ktoré udalosti sú simultánne, ovplyvní to (niekedy dramaticky) ich merania dĺžky objektov. Okrem toho, ak sa rad hodín javí stacionárnemu pozorovateľovi ako synchronizovaný a po zrýchlení na určitú rýchlosť sa tomu istému pozorovateľovi javí ako nesynchronizovaný, potom z toho vyplýva, že počas zrýchlenia hodiny bežali rôznymi rýchlosťami. Niektoré z nich môžu dokonca bežať dozadu. Táto úvaha vedie k všeobecnej teórii relativity.

Už iní vedci pred Einsteinom písali o tom, že svetlo sa zdá ísť rovnakou rýchlosťou bez ohľadu na spôsob pozorovania. Einsteinova teória bola taká revolučná preto, že meranie rýchlosti svetla považuje za konštantné podľa definície, inými slovami, je to prírodný zákon. To má pozoruhodné dôsledky, že merania súvisiace s rýchlosťou, dĺžkou a trvaním, sa menia, aby sa tomu prispôsobili.

Lorentzove transformácie

Matematickým základom špeciálnej teórie relativity sú Lorentzove transformácie, ktoré matematicky popisujú zobrazenie priestoru a času pre dvoch pozorovateľov, ktorí sa voči sebe pohybujú, ale nedochádza k ich zrýchleniu.

Na definovanie transformácií používame karteziánsky súradnicový systém na matematický opis času a priestoru "udalostí".

Každý pozorovateľ môže opísať udalosť ako polohu niečoho v priestore v určitom čase pomocou súradníc (x,y,z,t).

Umiestnenie udalosti je definované v prvých troch súradniciach (x,y,z) vo vzťahu k ľubovoľnému stredu (0,0,0), takže (3,3,3) je uhlopriečka idúca 3 jednotky vzdialenosti (napríklad metre alebo míle) v každom smere.

Čas udalosti je opísaný štvrtou súradnicou t vo vzťahu k ľubovoľnému bodu (0) v čase v nejakej časovej jednotke (napríklad sekundy, hodiny alebo roky).

Nech existuje pozorovateľ K, ktorý opisuje, kedy sa udalosti vyskytnú, pomocou časovej súradnice t, a ktorý opisuje, kde sa udalosti vyskytnú, pomocou priestorových súradníc x, y a z. Týmto matematicky definujeme prvého pozorovateľa, ktorého "hľadisko" bude naším prvým referenčným bodom.

Uveďme, že čas udalosti je daný: časom pozorovania t_{(pozorované) (}povedzme dnes o 12. hodine) mínus čas, za ktorý sa pozorovanie dostalo k pozorovateľovi.

Túto hodnotu možno vypočítať ako vzdialenosť pozorovateľa od _pozorovanej udalosti d (povedzme, že udalosť sa nachádza na hviezde vzdialenej 1 svetelný rok, takže svetlu trvá 1 rok, kým sa dostane k pozorovateľovi) vydelenú c, rýchlosťou svetla (niekoľko miliónov míľ za hodinu), ktorú definujeme ako rovnakú pre všetkých pozorovateľov.

Je to správne, pretože vzdialenosť vydelená rýchlosťou udáva čas potrebný na prekonanie tejto vzdialenosti pri danej rýchlosti (napr. 30 míľ vydelených 10 míľ za hodinu: dá nám to 3 hodiny, pretože ak idete rýchlosťou 10 míľ za hodinu 3 hodiny, dosiahnete 30 míľ). Takže máme:

t = d / c {\displaystyle t=d/c}

Ide o matematické vymedzenie toho, čo znamená akýkoľvek "čas" pre akéhokoľvek pozorovateľa.

Po týchto definíciách nech existuje ďalší pozorovateľ K', ktorý je

• pohybujúcej sa pozdĺž osi x K rýchlosťou v,
• má priestorový súradnicový systém x' , y' a z' ,

kde os x' je zhodná s osou x a s osami y' a z' - "vždy rovnobežná" s osami y a z.

To znamená, že keď K' udáva miesto ako (3,1,2), x (čo je v tomto príklade 3) je to isté miesto, o ktorom by hovoril K, prvý pozorovateľ, ale 1 na osi y alebo 2 na osi z sú len rovnobežné s nejakým miestom v súradnicovom systéme pozorovateľa K' a

• kde K a K' sú zhodné pri t = t' = 0

To znamená, že súradnica (0,0,0,0) je rovnaká udalosť pre oboch pozorovateľov.

Inými slovami, obaja pozorovatelia majú (aspoň) jeden čas a miesto, na ktorých sa obaja zhodnú, a to je miesto a čas nula.

Lorentzove transformácie sú potom

t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

y ′ = y {\displaystyle y'=y} a

z ′ = z {\displaystyle z'=z}.

Definujte udalosť, ktorá má časopriestorové súradnice (t,x,y,z) v systéme S a (t′,x′,y′,z′) vo vzťažnom rámci pohybujúcom sa rýchlosťou v vzhľadom na tento rámec, S′. Potom Lorentzova transformácia určuje, že tieto súradnice spolu súvisia takto: Lorentzov faktor a c je rýchlosť svetla vo vákuu a rýchlosť v v S′ je rovnobežná s osou x. Pre jednoduchosť sú súradnice y a z neovplyvnené; transformujú sa len súradnice x a t. Tieto Lorentzove transformácie tvoria jednoparametrovú skupinu lineárnych mapovaní, pričom tento parameter sa nazýva rýchlosť.

Vyriešením uvedených štyroch transformačných rovníc pre neprimárne súradnice získame inverznú Lorentzovu transformáciu:

t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}}

Ak sa táto inverzná Lorentzova transformácia zhoduje s Lorentzovou transformáciou z primárnej do neprimárnej sústavy, ukazuje sa, že neprimárna sústava sa pohybuje rýchlosťou v′ = -v, meranou v primárnej sústave.

Na osi x nie je nič zvláštne. Transformácia sa môže aplikovať na os y alebo z, alebo vlastne v ľubovoľnom smere, čo možno vykonať smermi rovnobežnými s pohybom (ktoré sú deformované faktorom γ) a kolmými; podrobnosti nájdete v článku Lorentzova transformácia.

Veličina invariantná pri Lorentzových transformáciách sa nazýva Lorentzov skalár.

Zápis Lorentzovej transformácie a jej inverzie v podobe súradnicových rozdielov, kde jedna udalosť má súradnice (x1, t1) a (x′1, t′1), druhá udalosť má súradnice (x2, t2) a (x′2, t′2) a rozdiely sú definované ako

Rovnica 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ , \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ . }

Rovnica 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ , \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ . }

dostaneme

Rovnica 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ } Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ . }

Rovnica 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ } Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ . }

Ak namiesto diferencií vezmeme diferencie, dostaneme

Rovnica 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \ } d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . {\displaystyle dt'=\gamma \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ . }

Rovnica 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ } d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . {\displaystyle dt=\gamma \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ . }

Hmotnosť, energia a hybnosť

V špeciálnej teórii relativity sú hybnosť p {\displaystyle p} a celková energia E {\displaystyle E} objektu funkciou jeho hmotnosti m {\displaystyle m}

p = m v 1 - v 2 c 2 {\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

a

E = m c 2 1 - v 2 c 2 {\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}.

Častou chybou (aj v niektorých knihách) je prepísanie tejto rovnice pomocou "relativistickej hmotnosti" (v smere pohybu) m r = m 1 - v 2 c 2 {\displaystyle m_{r}={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} . Dôvod, prečo je to nesprávne, je ten, že napríklad svetlo nemá hmotnosť, ale má energiu. Ak použijeme tento vzorec, fotón (častica svetla) má hmotnosť, čo je podľa experimentov nesprávne.

V špeciálnej teórii relativity sú hmotnosť, celková energia a hybnosť objektu spojené rovnicou

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}} .

Pre objekt v pokoji je p = 0 {\displaystyle p=0}, takže uvedená rovnica sa zjednoduší na E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}} . Z toho vyplýva, že hmotný objekt v pokoji má stále energiu. Túto energiu nazývame pokojová energia a označujeme ju E 0 {\displaystyle E_{0}} :

E 0 = m c 2 {\displaystyle E_{0}=mc^{2}} .

História

Potreba špeciálnej teórie relativity vyplynula z Maxwellových rovníc elektromagnetizmu, ktoré boli publikované v roku 1865. Neskôr sa zistilo, že podľa nich sa elektromagnetické vlny (napríklad svetlo) pohybujú konštantnou rýchlosťou (t. j. rýchlosťou svetla).

Aby boli rovnice Jamesa Clerka Maxwella v súlade s astronomickými pozorovaniami^[1] aj newtonovskou fyzikou,^[2] navrhol Maxwell v roku 1877, že svetlo sa šíri éterom, ktorý je všade vo vesmíre.

V roku 1887 sa slávny Michelson-Morleyho experiment pokúsil odhaliť "éterický vietor", ktorý vzniká pohybom Zeme. ^[3] Trvalo nulové výsledky tohto experimentu fyzikov zmiatli a spochybnili éterovú teóriu.

V roku 1895 si Lorentz a Fitzgerald všimli, že nulový výsledok Michelsonovho a Morleyho experimentu možno vysvetliť tým, že éterový vietor kontrahuje experiment v smere pohybu éteru. Tento efekt sa nazýva Lorentzova kontrakcia a (bez éteru) je dôsledkom špeciálnej teórie relativity.

V roku 1899 Lorentz prvýkrát uverejnil Lorentzove rovnice. Hoci to nebolo ich prvé zverejnenie, po prvýkrát sa použili ako vysvetlenie Michelsonovho a Morleyho nulového výsledku, keďže Lorentzova kontrakcia je ich výsledkom.

V roku 1900 Poincaré predniesol slávny prejav, v ktorom uvažoval o možnosti, že na vysvetlenie Michelsonovho-Morleyho experimentu je potrebná "nová fyzika".

V roku 1904 Lorentz ukázal, že elektrické a magnetické polia sa môžu navzájom modifikovať prostredníctvom Lorentzových transformácií.

V roku 1905 Einstein uverejnil v časopise Annalen der Physik článok "On the Electrodynamics of Moving Bodies", v ktorom predstavil špeciálnu teóriu relativity. V tomto článku predstavil postuláty relativity, odvodil z nich Lorentzove transformácie a (nevediac o Lorentzovom článku z roku 1904) tiež ukázal, ako Lorentzove transformácie ovplyvňujú elektrické a magnetické pole.

Neskôr v roku 1905 Einstein uverejnil ďalší článok, v ktorom predstavil E = mc2.

V roku 1908 Max Planck podporil Einsteinovu teóriu a nazval ju "relativita". V tom istom roku Hermann Minkowski predniesol slávny prejav o priestore a čase, v ktorom ukázal, že teória relativity je autonómna, a ďalej ju rozvinul. Tieto udalosti prinútili fyzikálnu komunitu brať relativitu vážne. Relativita sa potom začala čoraz viac akceptovať.

V roku 1912 boli Einstein a Lorentz nominovaní na Nobelovu cenu za fyziku za priekopnícku prácu v oblasti relativity. Bohužiaľ, relativita bola vtedy taká kontroverzná a zostala kontroverznou tak dlho, že Nobelova cena za ňu nikdy nebola udelená.

Experimentálne potvrdenia

• Michelsonov-Morleyho experiment, pri ktorom sa nepodarilo zistiť rozdiel v rýchlosti svetla v závislosti od smeru jeho pohybu.
• Fizeauov experiment, v ktorom index lomu svetla v pohybujúcej sa vode nemôže byť menší ako 1. Pozorované výsledky sa vysvetľujú relativistickým pravidlom pre sčítanie rýchlostí.
• Energia a hybnosť svetla sa riadia rovnicou E = p c {\displaystyle E=pc} . (V newtonovskej fyzike by to malo byť E = 1 2 p c {\displaystyle E={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}}end{matrix}}pc}.
• Priečny dopplerov efekt, pri ktorom je svetlo vyžarované rýchlo sa pohybujúcim objektom červeno posunuté v dôsledku dilatácie času.
• Prítomnosť miónov vytvorených v horných vrstvách atmosféry na povrchu Zeme. Problémom je, že trvá oveľa dlhšie, ako je polčas rozpadu miónov, kým sa dostanú na zemský povrch aj pri takmer rýchlosti svetla. Ich prítomnosť možno považovať buď za dôsledok dilatácie času (z nášho pohľadu), alebo za kontrakciu dĺžky vzdialenosti k zemskému povrchu (z pohľadu miónov).
• Urýchľovače častíc nemožno konštruovať bez zohľadnenia relativistickej fyziky.

Súvisiace stránky

• Všeobecná teória relativity