Newtonova metóda
Newtonova metóda umožňuje nájsť reálne nuly funkcie. Tento algoritmus sa niekedy nazýva Newtonova-Raphsonova metóda, pomenovaná podľa sira Isaaca Newtona a Josepha Raphsona.
Metóda využíva deriváciu funkcie na nájdenie jej koreňov. Je potrebné odhadnúť počiatočnú "hodnotu" polohy nuly. Z tejto hodnoty sa vypočíta nový odhad podľa tohto vzorca:
x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}} 
Tu xn je počiatočný odhad a xn+1 je ďalší odhad. Funkcia f (ktorej nula sa rieši) má deriváciu f'.
Opakovaným použitím tohto vzorca na vygenerované odhady (t. j. nastavením hodnoty xn na výstup vzorca a opätovným výpočtom) sa hodnota odhadov priblíži k nule funkcie.
Newtonovu metódu možno graficky vysvetliť pomocou priesečníkov dotyčnice s osou x. Najprv sa vypočíta priamka dotyčnica k f v bode xn. Potom sa nájde priesečník tejto dotyčnice s osou x. Nakoniec sa x-ová poloha tohto priesečníka zaznamená ako ďalší odhad, xn+1.
Funkcia (modrá) sa používa na výpočet sklonu dotyčnice (červená) v bode xn.
Problémy s Newtonovou metódou
Newtonova metóda dokáže nájsť riešenie rýchlo, ak odhadovaná hodnota začína dostatočne blízko požadovaného koreňa. Ak však počiatočná odhadovaná hodnota nie je blízko a v závislosti od funkcie, Newtonova metóda môže nájsť riešenie pomaly alebo vôbec.
Ďalšie čítanie
- Fernández, J. A. E., & Verón, M. Á. H. (2017). Newtonova metóda: Aktualizovaný prístup ku Kantorovichovej teórii. Birkhäuser.
- Peter Deuflhard, Newtonove metódy pre nelineárne problémy. Affine Invariance and Adaptive Algorithms, druhé tlačené vydanie. Séria Computational Mathematics 35, Springer (2006)
- Yamamoto, T. (2001). "Historický vývoj v analýze konvergencie Newtonových a Newtonových metód". In Brezinski, C.; Wuytack, L. (eds.). Numerical Analysis : Historical Developments in the 20th Century (Numerická analýza : historický vývoj v 20. storočí). North-Holland. s. 241-263.
Pozri tiež
- Kantorovičova veta (tvrdenie o konvergencii Newtonovej metódy, ktoré objavil Leonid Kantorovič)
| Kontrola úradu |
|
Otázky a odpovede
Otázka: Čo je Newtonova metóda?
Odpoveď: Newtonova metóda je algoritmus na hľadanie reálnych núl funkcie. Na výpočet koreňov funkcie používa deriváciu funkcie a vyžaduje počiatočnú odhadovanú hodnotu polohy nuly.
Otázka: Kto vytvoril túto metódu?
Odpoveď: Metódu vyvinuli sir Isaac Newton a Joseph Raphson, preto sa niekedy nazýva Newtonova-Raphsonova metóda.
Otázka: Ako tento algoritmus funguje?
Odpoveď: Tento algoritmus funguje tak, že sa opakovane použije vzorec, ktorý prijíma počiatočnú odhadovanú hodnotu (xn) a vypočíta nový odhad (xn+1). Opakovaním tohto procesu sa odhad priblíži k nule funkcie.
Otázka: Čo je potrebné na použitie tohto algoritmu?
Odpoveď: Na použitie tohto algoritmu musíte mať počiatočnú "odhadovanú hodnotu" polohy nuly, ako aj vedomosti o derivácii danej funkcie.
Otázka: Ako môžeme Newtonovu metódu vysvetliť graficky?
Odpoveď: Newtonovu metódu môžeme graficky vysvetliť tak, že sa pozrieme na priesečníky dotyčnice s osou x. Najprv sa vypočíta priamka dotyčnice k f v bode xn. Potom nájdeme priesečník tejto dotyčnice s osou x a jeho polohu x zapíšeme ako náš ďalší odhad - xn+1.
Otázka: Existuje nejaké obmedzenie pri použití Newtonovej metódy?
Odpoveď: Áno, ak je vaša počiatočná odhadovaná hodnota príliš vzdialená od skutočného koreňa, potom môže trvať dlhšie alebo sa dokonca nepodarí konvergovať ku koreňu v dôsledku oscilácií okolo neho alebo divergencie od neho.
