Rovnica Younga–Laplacea: povrchové napätie a kapilárny tlak

Rovnica Younga–Laplacea: prehľad povrchového napätia a kapilárneho tlaku, matematické odvozenia a praktické aplikácie vo fyzike a fyziológii.

Vo fyzike je Youngova-Laplaceova rovnica (/ləˈplɑːs/) nelineárna parciálna diferenciálna rovnica, ktorá opisuje rozdiel kapilárnych tlakov na rozhraní dvoch statických kvapalín, napríklad vody a vzduchu. Tento rozdiel je spôsobený javom povrchového napätia (alebo povrchovej energie) tekutiny. Rovnica spája rozdiel tlakov s tvarom rozhrania: tlakový rozdiel je úmerný súčtu zakrivení povrchu. Je mimoriadne dôležitá pri štúdiu kapilárnych javov a tvarov voľných povrchov kvapalín.

Vo fyziológii sa tento vzťah často uvádza ako Laplaceov zákon. Používa sa pri opise tlakov a stenného napätia vo vnútri dutých orgánov (napríklad ciev, pľúcnych alveol či srdcových komôr). Poznámka: pojem „napätie steny“ sa najčastejšie uplatňuje v prípade relatívne tenkých stien (tenkostenné približovanie).

Matematický tvar

V najčastejšej lokálnej forme pre rozhranie s povrchovým napätím γ (grécke „gamma“) platí

Δp = γ (1/R1 + 1/R2),

kde Δp je rozdiel tlakov medzi oboma stranami rozhrania (vnútorný mínus vonkajší) a R1, R2 sú hlavné polomery zakrivenia povrchu v danom bode. Výraz (1/R1 + 1/R2) predstavuje dvojnásobok strednej krivosti povrchu.

Pre zvláštny prípad sférickej kvapky alebo bubliny s polomerom R sa rovnice zjednoduší na

Δp = 2γ / R.

Fyzikálny význam a intuícia

• Malé kvapky majú menší polomer R, takže Δp je väčšie – vnútorný tlak v malej kvapke alebo bublinke je vyšší ako v veľkej kvapke (prečo rýchlo unikajú malé bubliny alebo prečo malé kvapky majú tendenciu zrážať sa do väčších).
• Povrchové napätie γ sa usiluje zmenšiť plochu rozhrania; Youngova–Laplaceova rovnica vyjadruje rovnováhu medzi touto snahou a tlakovým rozdielom, ktorý tvar povrchu udržiava.
• Rovnica vyplýva z minimalizácie celkovej energie systému (povrchovej energie + práce proti tlaku) alebo z princípu virtuálnej práce – prví ju kvalitatívne opísal Thomas Young, matematicky ju doplnil Pierre-Simon Laplace a neskôr unifikoval Carl Friedrich Gauss.

Aplikácie

• Kapilárny vzostup tekutiny v úzkej trubici (Jurinov zákon): výška stĺpca h v kapiláre polomeru r pri kontaktnom uhle θ je h = 2γ cos θ / (ρ g r). Tento jav využívame v rastlinnej fyziológii, farbení a mnohých technických procesoch.
• Tvar mydlových bublín, kvapiek, jetov a povrchových filmov. Pri tenkých membránach a mydlových stenách sa prejavuje aj zložitejšie správanie spojitého povrchu.
• Medicína a fyziológia: odhad stenného napätia v cievach a srdci, stabilita alveol pri pľúcnych ochoreniach (povrchovo aktívne látky = surfaktanty znižujú γ a znižujú tak riziko kolapsu alveol).

Young–Laplace v kontexte steny a hrúbky

Pri aplikovaní na tenkostenné duté orgány sa rozlišuje medzi stenným napätím T (sila na jednotku dĺžky) a stenným stresom σ (sila na jednotku plochy, keď zohľadníme hrúbku steny t). Pre tenkostenné valce a gule sa uvádzajú jednoduché približné vzťahy:

• Valec (tenkostenný): T ≈ p·r, kde p je transmurálny tlak a r polomer; ak započítame hrúbku t, stenné napätie σ ≈ p·r / t.
• Guľa (tenkostenná): T ≈ p·r / 2; so hrúbkou t vychádza stenné napätie σ ≈ p·r /(2 t).

Tieto formule sú často používané pri hodnotení rizika prasknutia aneuryzmy alebo pri návrhu lekárskych zariadení.

Poznámky k znamienku a orientácii

Znamienko Δp závisí od definície „vnútorného“ a „vonkajšieho“ tlaku a od orientácie normály k povrchu. V praxi sa bežne uvádza vnútorný tlak minus vonkajší tlak; konvexný povrch (smer normály smerom von) vedie k vyššiemu vnútornému tlaku.

Historické súvislosti

Rovnica je pomenovaná po Thomasovi Youngovi, ktorý v roku 1805 vytvoril kvalitatívnu teóriu povrchového napätia, a Pierrovi-Simonovi Laplaceovi, ktorý v nasledujúcom roku dokončil jej matematický opis. Niekedy sa označuje aj ako Youngova–Laplaceova–Gaussova rovnica, pretože Carl Friedrich Gauss v roku 1830 zjednotil prácu Younga a Laplacea a odvodil diferenciálnu rovnicu spolu s okrajovými podmienkami pomocou princípov virtuálnej práce Johanna Bernoulliho.

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to Young-Laplaceova rovnica?

Otázka: S čím súvisí?

Otázka: Kto vytvoril túto teóriu?

Otázka: Ako sa používa vo fyziológii?

Otázka: Aký jav vysvetľuje?

Hľadajte podľa písmena