Valec (geometria)

V bežnom používaní sa valcom rozumie konečný výsek pravého kruhového valca, t. j. valec s generujúcimi čiarami kolmými na základne, ktorého konce sú uzavreté tak, že tvoria dve kruhové plochy, ako na obrázku (vpravo). Ak má valec polomer r a dĺžku (výšku) h, potom je jeho objem daný:

V = πrh²

a jeho plocha je:

• plocha vrcholu (πr²) +
• plocha dna (πr²) +
• plocha strany (2πrh).

Preto bez hornej alebo dolnej časti (bočná plocha) je plocha povrchu:

A = 2πrh.

S hornou a dolnou časťou je plocha:

A = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h).

Pre daný objem má valec s najmenším povrchom h = 2r. Pre daný povrch má valec s najväčším objemom h = 2r, t. j. valec sa zmestí do kocky (výška = priemer).

Pravouhlý valec s výškou h jednotiek a podstavou s polomerom r jednotiek, ktorého súradnicové osi sú zvolené tak, že počiatok je v strede jednej podstavy a výška sa meria pozdĺž kladnej osi x. Rovinná časť vo vzdialenosti x jednotiek od počiatku má plochu A(x) štvorcových jednotiek, kde

A ( x ) = π r {\displaystyle2 A(x)=\pi r^{2}}

alebo

A ( y ) = π r {\displaystyle2 A(y)=\pi r^{2}}

Objemový prvok je pravý valec s plochou podstavy Aw_i štvorcových jednotiek a hrúbkou Δx_i jednotiek. Ak teda V kubických jednotiek je objem pravého kruhového valca, Riemannovými súčtami,

V o l u m e c y l i n d e r = lim | | Δ → |0 | ∑ i = n 1A ( w i ) Δ i x {\displaystyle \mathrm {Objem\;z\;valec} =\lim _{||\Delta \to 0||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x}

= ∫0 h A ( y ) d2 y {\displaystyle =\int _{0}^{h}A(y)^{2}\,dy}

= ∫ 0h π r d2 y {\displaystyle =\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy}

= π r h 2{\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Pomocou valcových súradníc možno objem vypočítať integráciou cez

= ∫ 0h0 ∫ 2π ∫ 0r s d s d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s,\,ds\,d\phi \,dz}

= π r h 2{\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Valcové rezy sú priesečníky valcov s rovinami. Pre pravý kruhový valec existujú štyri možnosti. Rovina, ktorá sa dotýka valca, sa s valcom stretáva v jednej priamke. Rovina, ktorá je pohybovaná rovnobežne so sebou, buď valec nepretína, alebo ho pretína v dvoch rovnobežných priamkach. Všetky ostatné roviny pretínajú valec v elipse alebo, ak sú kolmé na os valca, v kružnici.

Eliptický valec alebo cylindroid je kvadratická plocha s nasledujúcou rovnicou v karteziánskych súradniciach:

( x a ) + 2( y b ) =21 . {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}}\right)^{2}=1.}

Táto rovnica platí pre eliptický valec, ktorý je zovšeobecnením obyčajného kruhového valca (a = b). Ešte všeobecnejší je zovšeobecnený valec: prierezom môže byť ľubovoľná krivka.

Valec je degenerovaný štvoruholník, pretože aspoň jedna zo súradníc (v tomto prípade z) sa v rovnici nevyskytuje.

Šikmý valec má horný a dolný povrch navzájom posunuté.

Existujú aj ďalšie neobvyklé typy valcov. Ide o imaginárne eliptické valce:

( x a ) + 2( y b ) =2 - 1{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1}

hyperbolický valec:

( x a )2 - ( y b ) = 2{\displaystyle1 \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}

a parabolického valca:

x +2 a 2y =0 . {\displaystyle x^{2}+2ay=0.\,}

V projekčnej geometrii je valec jednoducho kužeľ, ktorého vrchol je v nekonečne.

To je užitočné pri definovaní degenerovaných kužeľov, ktoré si vyžadujú uvažovanie valcových kužeľov.