Eulerova identita

Eulerova identita, niekedy nazývaná Eulerova rovnica, je táto rovnica:

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

π {\displaystyle \pi } $\pi$ , pi

π ≈ 3,14159 {\displaystyle \pi \approx 3,14159} $\pi \approx 3.14159$

e {\displaystyle e} $e$ , Eulerovo číslo

e ≈ 2,71828 {\displaystyle e\approx 2,71828} $e\approx 2.71828$

i {\displaystyle i} $i$ , imaginárna jednotka

ı = √ - 1 {\displaystyle \imath =\surd {-1}} $\imath =\surd {-1}$

Eulerova identita je pomenovaná podľa švajčiarskeho matematika Leonarda Eulera. Nie je jasné, či ju vymyslel on sám.

Respondenti v ankete časopisu Physics World označili túto identitu za "najhlbší matematický výrok, aký bol kedy napísaný", "neuveriteľný a vznešený", "plný kozmickej krásy" a "ohromujúci".

Matematický dôkaz Eulerovej identity pomocou Taylorovho radu

Mnohé rovnice možno zapísať ako sériu výrazov, ktoré sa sčítajú. To sa nazýva Taylorov rad

Exponenciálnu funkciu e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ možno zapísať ako Taylorov rad

e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}} $e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$

Sínus sa dá zapísať aj ako

sin x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \nad 3!}+{x^{5} \nad 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}} $\sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}$

a kosínus ako

cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \nad 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}} $\cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}$

Tu vidíme, ako sa formuje vzor. e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ sa zdá byť súčtom Taylorovho radu sínusov a kosínusov, len so všetkými znamienkami zmenenými na kladné. Identita, ktorú vlastne dokazujeme, je e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ .

Takže na ľavej strane je e i x {\displaystyle e^{ix}} $e^{ix}$ , ktorého Taylorov rad je 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Vidíme tu zákonitosť, že každý druhý člen je i-násobok sínusového člena a že ostatné členy sú kosínusové členy.

Na pravej strane je cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} $\cos(x)+i\sin(x)$ , ktorého Taylorov rad je Taylorov rad kosínusu plus i-krát Taylorov rad sínusu, čo možno ukázať ako:

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )} $(1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )$

ak ich spočítame, dostaneme

1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Preto:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

Ak teraz nahradíme x pomocou π {\displaystyle \pi } $\pi$ , máme..

e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )} $e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )$

Potom vieme, že

cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1} $\cos(\pi )=-1$

sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0} $\sin(\pi )=0$

Preto:

e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1} $e^{i\pi }=0-1$
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

QED

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je Eulerova identita?

Odpoveď: Eulerova identita, niekedy nazývaná Eulerova rovnica, je rovnica, ktorá obsahuje matematické konštanty pí, Eulerovo číslo a imaginárnu jednotku spolu s tromi základnými matematickými operáciami (sčítanie, násobenie a rátanie). Rovnica je e^(i*pi) + 1 = 0.

Otázka: Kto bol Leonard Euler?

Odpoveď: Leonard Euler bol švajčiarsky matematik, po ktorom je pomenovaná táto identita. Nie je jasné, či ju sám vymyslel.

Otázka: Aké sú niektoré reakcie na Eulerovu identitu?

Odpoveď: Respondenti v ankete časopisu Physics World označili túto identitu za "najhlbší matematický výrok, aký bol kedy napísaný", "neuveriteľný a vznešený", "plný kozmickej krásy" a "ohromujúci".

Otázka: Aké konštanty sa nachádzajú v tejto rovnici?

Odpoveď: Konštanty, ktoré sa nachádzajú v tejto rovnici, sú pí (približne 3,14159), Eulerovo číslo (približne 2,71828) a imaginárna jednotka (rovná sa -1).

Otázka: Aké operácie sa vyskytujú v tejto rovnici?

Odpoveď: Operácie, ktoré sa vyskytujú v tejto rovnici, sú sčítanie, násobenie a exponenciácia.

Otázka: Ako môžeme matematicky vyjadriť číslo pí?

Odpoveď: Pí možno matematicky vyjadriť ako π ≈ 3,14159 {\displaystyle \pi \aprox 3,14159}.

Otázka: Ako môžeme matematicky vyjadriť Eulerovo číslo? Odpoveď: Eulerovo číslo možno matematicky vyjadriť ako e ≈ 2,71828 {\displaystyle e\approx 2,71828}.