Taylorov rad: definícia, vlastnosti a použitie

S touto myšlienkou prišiel ako prvý starogrécky filozof Zenón z Eleje. Výsledkom je paradox nazývaný "Zenónova parodoxia". Domnieval sa, že nie je možné sčítať nekonečný počet hodnôt a ako výsledok dostať jedinú konečnú hodnotu.

Ďalší grécky filozof, Aristoteles, prišiel s odpoveďou na filozofickú otázku. S matematickým riešením však prišiel Archimedes, ktorý použil svoju metódu vyčerpania. Dokázal, že keď sa niečo rozdelí na nekonečný počet malých častí, po ich opätovnom sčítaní sa z nich vytvorí jeden celok. To isté dokázal o niekoľko sto rokov neskôr aj staročínsky matematik Liu Hui.

Najstarším známym príkladom Taylorovej série je dielo Mādhava zo Sañgamāgrama v Indii z roku 1300. Neskôr indickí matematici písali o jeho práci s trigonometrickými funkciami sínus, kosínus, tangens a arktangens. Žiadny z Mādhavových spisov ani záznamov sa dodnes nezachoval. Ďalší matematici vychádzali z Mādhavových objavov a viac pracovali s týmito radmi až do roku 1500.

V tejto oblasti pracoval v roku 1600 škótsky matematik James Gregory. Gregory študoval Taylorove rady a publikoval niekoľko Maclaurinových radov. V roku 1715 Brook Taylor objavil všeobecnú metódu na použitie radu na všetky funkcie. (Všetky predchádzajúce výskumy ukazovali, ako metódu aplikovať len na konkrétne funkcie.) Colin Maclaurin uverejnil špeciálny prípad Taylorovho radu v roku 1700. Tento rad, ktorý je založený okolo nuly, sa nazýva Maclaurinov rad.

Taylorov rad možno použiť na opis ľubovoľnej funkcie ƒ(x), ktorá je hladkou funkciou (alebo, v matematickej terminológii, "nekonečne diferencovateľnou"). Taylorov rad sa potom používa na opis toho, ako funkcia vyzerá v okolí nejakého čísla a.

Tento Taylorov rad, zapísaný ako mocninový rad, vyzerá takto:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . }

Tento vzorec sa dá zapísať aj v sigma notácii ako:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}},(x-a)^{n}}

Tu n! je faktoriál n. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) je n-tá derivácia ƒ v bode a. a {\displaystyle a} je číslo v obore funkcie. Ak sa Taylorov rad funkcie rovná tejto funkcii, funkcia sa nazýva "analytická funkcia".

Séria Maclaurin

Keď a = 0 {\displaystyle a=0} Funkcia sa nazýva Maclaurinov rad. Maclaurinov rad zapísaný ako mocninový rad vyzerá takto:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . }

Maclaurinov rad zapísaný v sigma notácii je:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}}

Niektoré dôležité Taylorove rady a Maclaurinove rady sú tieto.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ pre všetky x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ pre všetky }}x\! }

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ pre všetky x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ pre všetky }}x\! }

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 pre všetky x {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{text{ pre všetky }}x\! }

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n pre všetky x {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ pre všetky }}x\! }

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ pre všetky x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ pre všetky }}x\! }

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ pre všetky | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ pre všetky }}|x|<1}

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n pre všetky | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{text{ pre všetky }}|x|<1}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ pre | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}! }

Kde B n {\displaystyle B_{n}} je n-té Bernoulliho číslo a ln {\displaystyle \ln } je prirodzený logaritmus.