Fibonacciho číslo
Fibonacciho čísla sú matematickou postupnosťou čísel pomenovanou podľa Leonarda z Pisy, známeho ako Fibonacci. Fibonacci napísal v roku 1202 knihu s názvom Liber Abaci ("Kniha výpočtov"), ktorá tento číselný vzorec zaviedla do západoeurópskej matematiky, hoci matematici v Indii ho už poznali.
Prvé číslo vzoru je 0, druhé číslo je 1 a každé ďalšie číslo sa rovná súčtu dvoch čísel tesne pred ním. Napríklad 0+1=1 a 3+5=8. Táto postupnosť pokračuje donekonečna.
To možno zapísať ako rekurenčný vzťah,
F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} 
Aby to malo zmysel, je potrebné uviesť aspoň dve východiská. Tu je F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0}
a F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1}
.
Fibonacciho špirála vytvorená nakreslením čiary cez štvorce Fibonacciho dlaždice; táto používa štvorce veľkosti 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 a 34; pozri zlatú špirálu
Fibonacciho čísla v prírode
Fibonacciho čísla súvisia so zlatým rezom, ktorý sa vyskytuje na mnohých miestach v budovách a v prírode. Príkladom je vzor listov na stonke, časti ananásu, kvitnutie artičoku, rozkonárenie papradia a usporiadanie šišky. Fibonacciho čísla sa nachádzajú aj v rodokmeni včiel medonosných.
Slnečnicová hlava so špirálami 34 a 55 kvetov okolo vonkajšej strany
Binetov vzorec
N-té Fibonacciho číslo možno zapísať v podobe zlatého rezu. Tým sa vyhnete nutnosti používať rekurziu na výpočet Fibonacciho čísel, čo môže počítaču trvať dlho.
F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}} 
Kde φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} 
, zlatý rez.
Otázky a odpovede
Otázka: Čo je Fibonacciho postupnosť?
Odpoveď: Fibonacciho postupnosť je vzor čísel v matematike pomenovaný podľa Leonarda z Pisy, známeho ako Fibonacci. Začína sa číslami 0 a 1 a každé ďalšie číslo sa rovná súčtu dvoch čísel tesne pred ním.
Otázka: Kto zaviedol tento číselný vzorec do západoeurópskej matematiky?
Odpoveď: Fibonacci napísal v roku 1202 knihu s názvom Liber Abaci ("Kniha výpočtov"), ktorá zaviedla tento číselný vzorec do západoeurópskej matematiky, hoci matematici v Indii ho už poznali.
Otázka: Ako sa dá Fibonacciho postupnosť zapísať?
Odpoveď: Fibonacciho postupnosť možno zapísať ako rekurenčný vzťah, kde F_n = F_n-1 + F_n-2 pre n ≥ 2.
Otázka: Aké sú východiskové body tohto rekurenčného vzťahu?
Odpoveď: Aby to malo zmysel, musia byť dané aspoň dva počiatočné body. Tu je F_0 = 0 a F_1 = 1.
Otázka: Pokračuje Fibonacciho postupnosť donekonečna?
Odpoveď: Áno, postupnosť pokračuje donekonečna.
Otázka: Kde sa matematici prvýkrát dozvedeli o tomto číselnom vzore? Odpoveď: Matematici v Indii poznali tento číselný vzorec ešte predtým, ako ho do západnej Európy zaviedol Leonardo z Pisy (Fibonacci).
