Topologický priestor
Topologický priestor je priestor študovaný v topológii, matematike štruktúry tvarov. V hrubých rysoch je to množina vecí (nazývaných body) spolu so spôsobom, ako zistiť, ktoré veci sú blízko seba.
Presnejšie, topologický priestor má určitý druh množín, ktoré sa nazývajú otvorené množiny. Otvorené množiny sú dôležité, pretože umožňujú hovoriť o bodoch v blízkosti iného bodu, nazývaných okolie bodu. Okolie bodu je jednoducho otvorená množina obsahujúca tento bod. Ak by sme nemali pojem otvorených množín, nemohli by sme dobre definovať susedstvo. Ak sa pokúsime definovať susedstvo bodu ako akúkoľvek množinu obsahujúcu tento bod, môže zahŕňať len tento bod a len tento bod, nie akékoľvek body v jeho blízkosti alebo body vzdialené. Máme tiež pojem uzavretých množín, ktoré sú doplnkom otvorených množín. To znamená, že všetky body, ktoré nepatria do určitej otvorenej množiny, tvoria uzavretú množinu.
Otvorené súbory musia dodržiavať určité pravidlá, aby zodpovedali našim predstavám o blízkosti. Spojenie ľubovoľného počtu otvorených množín musí byť otvorené a spojenie konečného počtu uzavretých množín musí byť uzavreté. (Druhé pravidlo platí len pre konečný počet uzavretých množín. Je to preto, že v mnohých prípadoch je množina obsahujúca jediný bod uzavretá. Každá množina sa skladá z bodov. Ak by druhé pravidlo platilo pre nekonečný počet uzavretých množín, potom by každá množina bola uzavretá.) Špeciálnym prípadom je, že množina obsahujúca každý bod je otvorená aj uzavretá. Množina, ktorá neobsahuje žiadne body, je tiež otvorená aj uzavretá.
Množina bodov môže mať mnoho rôznych definícií toho, čo je otvorená množina. Za otvorené možno považovať len niektoré množiny, alebo viac množín. Dokonca možno považovať každú množinu za otvorenú. Tá istá množina s rôznymi definíciami otvorených množín tvorí rôzne topologické priestory.
Otázky a odpovede
Otázka: Čo je to topologický priestor?
Odpoveď: Topologický priestor je množina bodov spolu so spôsobom, ako zistiť, ktoré veci sú blízko seba. Skúma sa v matematike v oblasti štruktúry tvarov.
Otázka: Čo sú to otvorené množiny?
Odpoveď: Otvorené množiny sú dôležité, pretože umožňujú hovoriť o bodoch v blízkosti iného bodu, nazývaných okolie bodu. Sú definované ako určité druhy množín, ktoré sa dajú použiť na dobré definovanie susedstva.
Otázka: Čo musia otvorené množiny sledovať?
Odpoveď: Otvorené množiny musia dodržiavať určité pravidlá, aby zodpovedali našim predstavám o blízkosti. Spojenie ľubovoľného počtu otvorených množín musí byť otvorené a spojenie konečného počtu uzavretých množín musí byť uzavreté.
Otázka: Čo je špeciálnym prípadom pre otvorené a uzavreté množiny?
Odpoveď: Špeciálnym prípadom pre otvorené a uzavreté množiny je, že množina obsahujúca každý bod je otvorená aj uzavretá, rovnako ako množina neobsahujúca žiadne body je otvorená aj uzavretá.
Otázka: Ako ovplyvňujú rôzne definície topologické priestory?
Odpoveď: Rôzne definície toho, čo je otvorená množina, môžu ovplyvniť topologické priestory tým, že za otvorené považujú len niektoré množiny alebo viac ako zvyčajne, alebo dokonca považujú každú množinu za otvorenú.
Otázka: Môže nekonečný počet uzavretých množín tvoriť nejakú množinu?
Odpoveď: Nie, ak by bol povolený nekonečný počet uzavretých množín, potom by sa každá množina považovala za uzavretú, pretože každá množina sa skladá len z bodov.
