Injekčná (1-1) funkcia — definícia, vlastnosti a príklady

Formálne:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} je injekčná funkcia, ak ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\v A,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\,\pravá šípka \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})} alebo ekvivalentne

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} je injekčná funkcia, ak ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \pre všetky a_{1},\,a_{2},\v A,\,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\pravá šipka \,\,a_{1}=a_{2}}

Prvok a {\displaystyle a} sa nazýva predobraz prvku b {\displaystyle b} , ak f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b} . Injekcie majú jeden alebo žiadny predobraz pre každý prvok b v B.

Kardinalita je počet prvkov v množine. Kardinalita množiny A={X,Y,Z,W} je 4. Píšeme #A=4.

• Ak je kardinalita kodomény menšia ako kardinalita domény, funkcia nemôže byť injekciou. (Napríklad neexistuje spôsob, ako mapovať 6 prvkov na 5 prvkov bez duplicity.)

Elementárne funkcie

Nech f(x):ℝ→ℝ je reálna funkcia y=f(x) reálneho argumentu x. (To znamená, že vstup aj výstup sú reálne čísla.)

• Grafický význam: Funkcia f je injekcia, ak každá vodorovná priamka pretína graf funkcie f najviac v jednom bode.
• Algebraický význam: Funkcia f je injekcia, ak f(x_o )=f(x₁ ) znamená x_o =x₁ .

Príklad: Lineárna funkcia šikmej priamky je 1-1. To znamená, že y=ax+b, kde a≠0 je injekcia. (Je to tiež surjekcia, a teda bijekcia.)

Dôkaz: Nech x_o a x₁ sú reálne čísla. Predpokladajme, že priamka zobrazuje tieto dve hodnoty x na rovnakú hodnotu y. To znamená a-x_o +b=a-x₁ +b. Odčítajte b od oboch strán. Dostaneme a-x_o =a-x₁ . Teraz vydeľte obe strany číslom a (nezabudnite a≠0). Dostaneme x_o =x₁ . Tak sme dokázali formálnu definíciu a funkciu y=ax+b, kde a≠0 je injekcia.

Príklad: Funkcia polynómu tretieho stupňa: f(x)=x³ je injekcia. Polynómová funkcia tretieho stupňa: f(x)=x³ -3x však nie je injekcia.

Diskusia 1: Každá vodorovná čiara pretína graf

f(x)=x³ presne raz. (Taktiež je to surjekcia.)

Diskusia 2. Každá vodorovná priamka medzi y=-2 a y=2 pretína graf v troch bodoch, takže táto funkcia nie je injekciou. (Je to však surjekcia.)

Príklad: Kvadratická funkcia f(x) = x² nie je injekcia.

Diskusia: ľubovoľná vodorovná priamka y=c, kde c>0, pretína graf v dvoch bodoch. Táto funkcia teda nie je injekciou. (Tiež to nie je surjekcia.)

Poznámka: Z neinjektívnej funkcie možno urobiť funkciu injekčnú tak, že sa odstráni časť oblasti. Tomu hovoríme obmedzenie domény. Oblasť f(x)=x² obmedzíme napríklad na nezáporné čísla (kladné čísla a nulu). Definujte

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} } kde f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}}

Táto funkcia je teraz injekciou. (Pozri tiež obmedzenie funkcie.)

Príklad: Exponenciálna funkcia f(x) = 10^x je injekcia. (Nie je to však surjekcia.)

Diskusia: Každá vodorovná priamka pretína graf najviac v jednom bode. Vodorovné priamky y=c, kde c>0, ho pretínajú práve v jednom bode. Vodorovné priamky y=c, kde c≤0, neprerezávajú graf v žiadnom bode.

Poznámka: Skutočnosť, že exponenciálna funkcia je injekčná, možno využiť pri výpočtoch.

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {\displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\pravá šípka \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0}

Príklad: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\pravá šípka \,\,2=x-3\,\,\pravá šípka \,\,x=5}  

Ďalšie príklady

Príklad: Logaritmická funkcia základu 10 f(x):(0,+∞)→ℝ definovaná f(x)=log(x) alebo y=log₁₀ (x) je injekcia (a surjection). (Ide o inverznú funkciu 10^x .)

Príklad: Funkcia f:ℕ→ℕ, ktorá mapuje každé prirodzené číslo n na 2n, je injekcia. Každé párne číslo má presne jeden predobraz. Každé nepárne číslo nemá žiadny predobraz.

• Funkcia (matematika)
• Surjektívna funkcia
• Bijektívna funkcia