Surjektívne zobrazenie (surjekcia)

Formálne:

f : A → B {\dispozícia f:A\pravá šipka B} je surjektívna funkcia, ak ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\dispozícia \pre všetky b\v B\,\,\existuje a\v A} taká, že f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. }

Prvok b {\displaystyle b} sa nazýva obraz prvku a {\displaystyle a} .

• Formálna definícia znamená: Každý prvok kodomény B je obrazom aspoň jedného prvku v doméne A.

Prvok a {\displaystyle a} sa nazýva predobraz prvku b {\displaystyle b} .

• Formálna definícia znamená: Každý prvok kodomény B má aspoň jeden predobraz v doméne A.

Predobraz nemusí byť jedinečný. Na hornom obrázku sú {X} aj {Y} predobrazy prvku {1}. Dôležité je len to, aby existoval aspoň jeden predobraz. (Pozri tiež: injektívna funkcia, bijektívna funkcia)

Elementárne funkcie

Nech f(x):ℝ→ℝ je reálna funkcia y=f(x) reálneho argumentu x. (To znamená, že vstup aj výstup sú čísla.)

• Grafický význam: Funkcia f je surjekcia, ak každá vodorovná priamka pretína graf funkcie f aspoň v jednom bode.
• Analytický význam: Pre každé reálne číslo y_o môžeme nájsť aspoň jedno reálne číslo x _otaké, že y=f_o(x_o).

Príklad: Lineárna funkcia šikmej priamky je na. To znamená, že y=ax+b, kde a≠0 je surjection. (Je to tiež injekcia, a teda bijekcia.)

Dôkaz: Keďže a≠0, dostaneme x= (y-b_o)/_a._o To znamená, že x=_o(y-b_o)/_a je predobrazom y_o. To dokazuje, že funkcia y=ax+b, kde a≠0 je surjekcia. (Keďže existuje presne jeden predobraz, táto funkcia je tiež injekciou.)

Praktický príklad: y= -2x+4. Aký je predobraz y=2? Riešenie: V tomto prípade a= -2, t. j. a≠0 a otázka znie: Pre aké x je y=2? Do funkcie dosadíme y=2. Dostaneme x=1, t. j. y(1)=2. Odpoveď teda znie: x=1 je predobrazom y=2.

Príklad: kubický polynóm (tretieho stupňa) f(x)=x-3x³ je surjection.

Diskusia: Kubická rovnica x-3x-y=0³_o má reálne koeficienty (a=1₃, a=0₂, a=-3₁, a=-y_0o). Každá takáto kubická rovnica má aspoň jeden reálny koreň. Keďže oblasťou polynómu je ℝ, znamená to, že v tejto oblasti je aspoň jeden predobraz x_o. To znamená, že (x₀)³-3x-y=0_0o. Funkcia je teda surjekcia. (Táto funkcia však nie je injekciou. Napríklad y=2_o má 2 predobrazy: x=-1 a x=2. V skutočnosti má každé y, -2≤y≤2 aspoň 2 predobrazy.)

Príklad: Kvadratická funkcia f(x) = x² nie je surjekcia. Neexistuje žiadne x také, aby x ²= -1. Oblasť x² je [0,+∞) , teda množina nezáporných čísel. (Táto funkcia tiež nie je injekciou.)

Poznámka: Z nesurjektívnej funkcie možno urobiť surjekciu obmedzením jej kodoménu na prvky jej rozsahu. Napríklad nová funkcia f_N(x):ℝ → [0,+∞), kde f_N(x) = x² je surjektívna funkcia. (To nie je to isté ako reštrikcia funkcie, ktorá obmedzuje doménu!)

Príklad: Exponenciálna funkcia f(x) = 10^x nie je surjection. Oblasť je 10^x(0,+∞), teda množina kladných čísel. (Táto funkcia je injekcia.)

Ďalšie príklady s reálnymi funkciami

Príklad: Logaritmická funkcia základu 10 f(x):(0,+∞)→ℝ definovaná f(x)=log(x) alebo y=log₁₀(x) je surjekcia (a injekcia). (Je to inverzná funkcia k 10^x.)

• Projekcia karteziánskeho súčinu A × B na jeden z jeho činiteľov je surjekcia.

Príklad: Funkcia f((x,y)):ℝ²→ℝ definovaná pomocou z=y je surjekcia. Jej grafom je rovina v trojrozmernom priestore. Predobrazom z_o je priamka y=z_o v rovine xy. 0

• V 3D hrách sa trojrozmerný priestor premieta na dvojrozmernú obrazovku pomocou surjekcie.

• Funkcia (matematika)
• Injekčná funkcia
• Bijektívna funkcia