Surjektívne zobrazenie

V matematike je surjektívna alebo onto funkcia funkcia f : A → B s nasledujúcou vlastnosťou. Pre každý prvok b v kodoméne B existuje aspoň jeden prvok a v doméne A taký, že f(a)=b. To znamená, že rozsah a kodoména funkcie f sú tá istá množina.

Termín surjekcia a príbuzné termíny injekcia a bijekcia zaviedla skupina matematikov, ktorá si hovorila Mikuláš Bourbaki. V 30. rokoch 20. storočia táto skupina matematikov vydala sériu kníh o modernej pokročilej matematike. Francúzska predpona sur znamená nad alebo na a bola zvolená preto, lebo surjektívna funkcia mapuje svoj domén na svoj kodomén.

Základné vlastnosti

Formálne:

f : A → B {\dispozícia f:A\pravá šipka B} je $f:A\rightarrow B$ surjektívna funkcia, ak ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\dispozícia \pre všetky b\v B\,\,\existuje a\v A} taká $\forall b\in B\,\,\exists a\in A$ , že f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } $f(a)=b\,.$

Prvok b {\displaystyle b} $b$ sa nazýva obraz prvku a {\displaystyle a} .

Formálna definícia znamená: Každý prvok kodomény B je obrazom aspoň jedného prvku v doméne A.

Prvok a {\displaystyle a} sa nazýva predobraz prvku b {\displaystyle b} $b$ .

Formálna definícia znamená: Každý prvok kodomény B má aspoň jeden predobraz v doméne A.

Predobraz nemusí byť jedinečný. Na hornom obrázku sú {X} aj {Y} predobrazy prvku {1}. Dôležité je len to, aby existoval aspoň jeden predobraz. (Pozri tiež: injektívna funkcia, bijektívna funkcia)

Príklady

Elementárne funkcie

Nech f(x):ℝ→ℝ je reálna funkcia y=f(x) reálneho argumentu x. (To znamená, že vstup aj výstup sú čísla.)

Grafický význam: Funkcia f je surjekcia, ak každá vodorovná priamka pretína graf funkcie f aspoň v jednom bode.
Analytický význam: Pre každé reálne číslo y_o môžeme nájsť aspoň jedno reálne číslo x _otaké, že y=f_o(x_o).

Nájdenie predobrazu x_o pre dané y_o je ekvivalentné s oboma otázkami:

Má rovnica f(x)-y=0_o riešenie? alebo
Má funkcia f(x)-y_o koreň?

V matematike môžeme nájsť presné (analytické) korene len polynómov prvého, druhého (a tretieho) stupňa. Korene všetkých ostatných funkcií nájdeme približne (numericky). To znamená, že formálny dôkaz surjektivity je zriedkavo priamy. Preto sú nasledujúce diskusie neformálne.

Príklad: Lineárna funkcia šikmej priamky je na. To znamená, že y=ax+b, kde a≠0 je surjection. (Je to tiež injekcia, a teda bijekcia.)

Dôkaz: Keďže a≠0, dostaneme x= (y-b_o)/_a._o To znamená, že x=_o(y-b_o)/_a je predobrazom y_o. To dokazuje, že funkcia y=ax+b, kde a≠0 je surjekcia. (Keďže existuje presne jeden predobraz, táto funkcia je tiež injekciou.)

Praktický príklad: y= -2x+4. Aký je predobraz y=2? Riešenie: V tomto prípade a= -2, t. j. a≠0 a otázka znie: Pre aké x je y=2? Do funkcie dosadíme y=2. Dostaneme x=1, t. j. y(1)=2. Odpoveď teda znie: x=1 je predobrazom y=2.

Príklad: kubický polynóm (tretieho stupňa) f(x)=x-3x³ je surjection.

Diskusia: Kubická rovnica x-3x-y=0³_o má reálne koeficienty (a=1₃, a=0₂, a=-3₁, a=-y_0o). Každá takáto kubická rovnica má aspoň jeden reálny koreň. Keďže oblasťou polynómu je ℝ, znamená to, že v tejto oblasti je aspoň jeden predobraz x_o. To znamená, že (x₀)³-3x-y=0_0o. Funkcia je teda surjekcia. (Táto funkcia však nie je injekciou. Napríklad y=2_o má 2 predobrazy: x=-1 a x=2. V skutočnosti má každé y, -2≤y≤2 aspoň 2 predobrazy.)

Príklad: Kvadratická funkcia f(x) = x² nie je surjekcia. Neexistuje žiadne x také, aby x ²= -1. Oblasť x² je [0,+∞) , teda množina nezáporných čísel. (Táto funkcia tiež nie je injekciou.)

Poznámka: Z nesurjektívnej funkcie možno urobiť surjekciu obmedzením jej kodoménu na prvky jej rozsahu. Napríklad nová funkcia f_N(x):ℝ → [0,+∞), kde f_N(x) = x² je surjektívna funkcia. (To nie je to isté ako reštrikcia funkcie, ktorá obmedzuje doménu!)

Príklad: Exponenciálna funkcia f(x) = 10^x nie je surjection. Oblasť je 10^x(0,+∞), teda množina kladných čísel. (Táto funkcia je injekcia.)

Surjekcia. f(x):ℝ→ℝ (a injekcia)

Surjekcia. f(x):ℝ→ℝ (nie je injekcia)

Nie je to surjekcia. f(x):ℝ→ℝ (ani injekcia)

Nie je to surjekcia. f(x):ℝ→ℝ (ale je to injekcia)

Surjekcia. f(x):(0,+∞)→ℝ (a injekcia)

Surjekcia. z:ℝ²→ℝ, z=y. (Obrázok ukazuje, že predobrazom z=2 je priamka y=2.)

Ďalšie príklady s reálnymi funkciami

Príklad: Logaritmická funkcia základu 10 f(x):(0,+∞)→ℝ definovaná f(x)=log(x) alebo y=log₁₀(x) je surjekcia (a injekcia). (Je to inverzná funkcia k 10^x.)

Projekcia karteziánskeho súčinu A × B na jeden z jeho činiteľov je surjekcia.

Príklad: Funkcia f((x,y)):ℝ²→ℝ definovaná pomocou z=y je surjekcia. Jej grafom je rovina v trojrozmernom priestore. Predobrazom z_o je priamka y=z_o v rovine xy. 0

V 3D hrách sa trojrozmerný priestor premieta na dvojrozmernú obrazovku pomocou surjekcie.

Súvisiace stránky

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je v matematike surjektívna funkcia?

Odpoveď: Surjektívna funkcia v matematike je funkcia f: A → B s vlastnosťou, že pre každý prvok b v kodoméne B existuje aspoň jeden prvok a v doméne A taký, že f(a)=b.

Otázka: Aký význam má surjektívna funkcia v matematike?

Odpoveď: Surjektívna funkcia zabezpečuje, že žiadny prvok v kodoméne nie je nezobrazený a že rozsah a kodomén funkcie f sú tá istá množina.

Otázka: Aký je pôvod termínu surjekcia?

Odpoveď: Termín surjekcia zaviedla skupina matematikov s názvom Mikuláš Bourbaki.

Otázka: Aký význam má francúzska predpona sur v slove surjective?

Odpoveď: Francúzska predpona sur znamená nad alebo na.

Otázka: Prečo bol pre tento druh funkcie zvolený termín surjektívny?

Odpoveď: Termín surjektívny bol pre tento druh funkcie zvolený preto, lebo surjektívna funkcia mapuje svoj obor na svoj kodomén.

Otázka: Kto vydal v 30. rokoch 20. storočia sériu kníh o modernej pokročilej matematike?

Odpoveď: Skupina matematikov s názvom Nicholas Bourbaki vydala v 30. rokoch 20. storočia sériu kníh o modernej pokročilej matematike.

Otázka: Čo je to injekcia a bijekcia v matematike?

Odpoveď: Injekcia a bijekcia sú príbuzné termíny so surjekciou v matematike. Injekčná funkcia zabezpečuje, aby žiadne dva prvky v doméne neboli mapované na ten istý prvok v kodoméne. Funkcia bijekcie je surjektívna aj injekčná.