Algebraická odroda
V matematike sú algebraické variety (nazývané aj varietami) jedným z hlavných objektov štúdia algebraickej geometrie. Prvé definície algebraickej variety ju definovali ako množinu riešení sústavy polynomických rovníc nad reálnymi alebo komplexnými číslami. Moderné definície algebraickej variety tento pojem zovšeobecňujú, pričom sa snažia zachovať geometrickú intuíciu, ktorá stála za pôvodnou definíciou.
Konvencie týkajúce sa definície algebraickej variety sa líšia: Niektorí autori vyžadujú, aby "algebraická varieta" bola podľa definície neredukovateľná (čo znamená, že nie je spojením dvoch menších množín, ktoré sú uzavreté v Zariskiho topológii), zatiaľ čo iní nie. Ak sa používa prvá konvencia, neredukovateľné algebraické variety sa nazývajú algebraické množiny.
Pojem varieta je podobný pojmu mnohotvar. Rozdiel medzi varietou a mnohotvárnosťou je v tom, že varieta môže mať singulárne body, zatiaľ čo mnohotvárnosť nie. Základná veta algebry, ktorá bola dokázaná okolo roku 1800, vytvára spojenie medzi algebrou a geometriou tým, že ukazuje, že monický polynóm v jednej premennej s komplexnými koeficientmi (algebraický objekt) je určený množinou svojich koreňov (geometrický objekt). Zovšeobecnením tohto výsledku Hilbertova Nullstellensatz poskytuje základnú korešpondenciu medzi ideálmi polynomických kruhov a algebrickými množinami. Pomocou Nullstellensatzu a súvisiacich výsledkov matematici vytvorili silnú korešpondenciu medzi otázkami o algebraických množinách a otázkami teórie prstencov. Táto zhoda je špecifikom algebraickej geometrie medzi ostatnými podoblasťami geometrie.
Skrútená kubická varieta je projektívna algebraická varieta.
Otázky a odpovede
Otázka: Čo sú to algebraické variety?
Odpoveď: Algebraické variety sú jedným z hlavných objektov štúdia algebraickej geometrie. Sú definované ako množina riešení sústavy polynomických rovníc nad reálnymi alebo komplexnými číslami.
Otázka: Ako sa moderné definície líšia od pôvodnej definície?
Odpoveď: Moderné definície sa snažia zachovať geometrickú intuíciu pôvodnej definície a zároveň ju zovšeobecniť. Niektorí autori vyžadujú, aby "algebraická varieta" bola podľa definície neredukovateľná (čo znamená, že nie je zjednotením dvoch menších množín, ktoré sú uzavreté v Zariskiho topológii), zatiaľ čo iní nie.
Otázka: Aký je jeden z rozdielov medzi varietou a množinou?
Odpoveď: Varieta môže mať singulárne body, zatiaľ čo mnohotvar nie.
Otázka: Čo stanovuje základná veta algebry?
Odpoveď: Základná veta algebry vytvára spojenie medzi algebrou a geometriou tým, že ukazuje, že monický polynóm v jednej premennej s komplexnými koeficientmi (algebraický objekt) je určený množinou svojich koreňov (geometrický objekt).
Otázka: Čo poskytuje Hilbertov Nullstellensatz?
Odpoveď: Hilbertov Nullstellensatz poskytuje základnú korešpondenciu medzi ideálmi polynomických kruhov a algebraickými množinami.
Otázka: Ako túto korešpondenciu využili matematici?
Odpoveď: Matematici pomocou tejto korešpondencie vytvorili silnú korešpondenciu medzi otázkami o algebraických množinách a otázkami teórie prstencov.
Otázka: V čom je táto konkrétna oblasť jedinečná medzi ostatnými podoblasťami geometrie? Odpoveď: Táto silná korešpondencia medzi otázkami algebrických množín a otázkami teórie prstencov robí túto konkrétnu oblasť jedinečnou medzi ostatnými podoblasťami v rámci geometrie.
