Algebrická geometria

Algebraická geometria je odvetvie matematiky, ktoré skúma polynomické rovnice. Moderná algebraická geometria je založená na abstraktnejších technikách abstraktnej algebry, najmä komutatívnej algebry, s jazykom a problémami geometrie.

Hlavnými objektmi štúdia algebraickej geometrie sú algebraické variety, ktoré sú geometrickými prejavmi množín riešení sústav polynomických rovníc. Príkladmi najviac študovaných tried algebraických variet sú: rovinné algebraické krivky, medzi ktoré patria priamky, kružnice, paraboly, elipsy, hyperboly, kubické krivky ako eliptické krivky a kvartické krivky ako lemniskáty a Cassiniho ovály. Bod roviny patrí do algebraickej krivky, ak jeho súradnice spĺňajú danú polynomickú rovnicu. Základné otázky zahŕňajú štúdium bodov osobitného záujmu, ako sú singulárne body, inflexné body a body v nekonečne. Pokročilejšie otázky zahŕňajú topológiu krivky a vzťahy medzi krivkami danými rôznymi rovnicami.

Algebraická geometria zaujíma v modernej matematike ústredné miesto. Pojmy, ktoré používa, ju spájajú s takými rozmanitými oblasťami, ako je komplexná analýza, topológia a teória čísel. Na začiatku sa algebraická geometria zaoberala štúdiom sústav polynomických rovníc vo viacerých premenných. Algebraická geometria začína tam, kde sa končí riešenie rovníc: V mnohých prípadoch je dôležitejšie nájsť vlastnosti, ktoré majú všetky riešenia danej sústavy rovníc, než nájsť konkrétne riešenie: to vedie do niektorých z najhlbších oblastí celej matematiky, a to tak z koncepčného, ako aj technického hľadiska.

V 20. storočí sa algebraická geometria rozdelila na niekoľko podoblastí.

• Hlavný prúd algebraickej geometrie sa venuje štúdiu komplexných bodov algebraických variet a všeobecnejšie bodom so súradnicami v algebraicky uzavretom poli.
• Štúdium bodov algebraickej variety so súradnicami v poli racionálnych čísel alebo v číselnom poli sa stalo aritmetickou geometriou (alebo klasickejšie Diofantovou geometriou), podoblasťou algebraickej teórie čísel.
• Štúdiom reálnych bodov algebraickej variety sa zaoberá reálna algebraická geometria.
• Veľká časť teórie singularít sa venuje singularitám algebraických variet.
• Keď sa rozšírili počítače, vznikla oblasť nazvaná "počítačová algebraická geomera". Tá sa zaoberá prienikom algebraickej geometrie a počítačovej algebry. Zaoberá sa vývojom algoritmov a softvéru na štúdium a zisťovanie vlastností explicitne daných algebraických variet.

Veľká časť vývoja hlavného prúdu algebraickej geometrie v 20. storočí sa odohrala v abstraktnom algebraickom rámci, pričom sa kládol čoraz väčší dôraz na "vnútorné" vlastnosti algebraických variet, ktoré nezávisia od konkrétneho spôsobu vloženia variety do okolitého súradnicového priestoru. Vývoj v topológii, diferenciálnej a komplexnej geometrii prebiehal podobne. Jedným z kľúčových úspechov tejto abstraktnej algebraickej geometrie je Grothendieckova teória schém, ktorá umožňuje používať teóriu snopov na štúdium algebraických variet spôsobom, ktorý je veľmi podobný jej použitiu pri štúdiu diferenciálnych a analytických množin. To sa dosiahne rozšírením pojmu bodu: V klasickej algebraickej geometrii možno bod afinnej variety identifikovať prostredníctvom Hilbertovho Nullstellensatzu s maximálnym ideálom súradnicového kruhu, zatiaľ čo všetky body príslušnej afinnej schémy sú prvými ideálmi tohto kruhu. To znamená, že bod takejto schémy môže byť buď obyčajným bodom, alebo podvarietou. Tento prístup tiež umožňuje zjednotenie jazyka a nástrojov klasickej algebraickej geometrie, ktorá sa zaoberá najmä komplexnými bodmi, a algebraickej teórie čísel. Wilesov dôkaz dlhoročnej domnienky nazývanej Fermatova posledná veta je príkladom sily tohto prístupu.

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to algebraická geometria?

Otázka: Aké techniky sa používajú v modernej algebraickej geometrii?

Otázka: Aký typ rovníc študuje algebraická geometria?

Otázka: Ako využíva abstraktnú algebru?

Otázka: Existuje nejaký špecifický typ jazyka, ktorý sa v tejto oblasti používa?

Otázka: Ako ovplyvnila túto oblasť moderná technológia?

Hľadajte podľa písmena