Poludníkový oblúk: definícia v geodézii, meranie a určenie tvaru Zeme

Poludníkový oblúk v geodézii: meranie a história od Eratosthena po satelitnú geodéziu, určenie tvaru Zeme, elipsoid a moderné metódy.

V geodézii je poludníkový oblúk vzdialenosť medzi dvoma bodmi s rovnakou zemepisnou dĺžkou. V geometrii je to oblúk: úsečka krivky. Túto vzdialenosť by predstavovala dĺžka pomyselného lana položeného cez zemeguľu.

Pri dvoch alebo viacerých takýchto meraniach na rôznych miestach sa získa tvar referenčného elipsoidu, ktorý sa najviac podobá tvaru geoidu. Tento proces sa nazýva "určenie postavy Zeme". Pri prvých určeniach veľkosti guľovej Zeme sa používal jeden oblúk. Pri najnovších určeniach sa na získanie referenčných elipsoidov používajú astro-geodetické merania a metódy satelitnej geodézie.

Alexandrijský vedec Eratosthenes okolo roku 240 pred n. l. ako prvý vypočítal presnú hodnotu obvodu Zeme. Vedel, že v deň letného slnovratu na miestne poludnie prechádza Slnko zenitom v staroegyptskom meste Syene (Assuan). Z vlastných meraní tiež vedel, že v tom istom okamihu v jeho rodnom meste Alexandrii je vzdialenosť zenitu 1/50 plného kruhu (7,2°). Za predpokladu, že Alexandria sa nachádzala severne od Syene, Eratostenes dospel k záveru, že vzdialenosť medzi Alexandriou a Syene musí byť 1/50 obvodu Zeme.

V roku 1687 Newton v Principiách publikoval dôkaz, že Zem je oblý sféroid so sploštením rovným 1/230.

Definícia a fyzikálny význam poludníkového oblúku

Poludníkový oblúk je dĺžkový úsek pozdĺž meridiánu medzi dvoma rovnobežkami (bodmi s rovnakou zemepisnou dĺžkou). V geodézii slúži na priame stanovenie rozmerov a tvaru Zeme, pretože rozdiely v dĺžkach takýchto oblúkov pre rôzne zemepisné šírky odhaľujú odchýlky od dokonalej gule (sploštenie, nerovnosti geoidu).

Meranie poludníkového oblúku — historicky a prakticky

• Historicky sa oblúky určovali pomocou astronomických pozorovaní (určenie zemepisnej šírky z polohy Slnka alebo hviezd) a pozemných meraní vzdialeností medzi dvoma bodmi (triangulácia alebo priame meranie). Rozdiel v astronomických zemepisných šírkach dvoch bodov vyjadruje stredový uhol medzi nimi, ktorý vynásobením polomerom Zeme dáva dĺžku oblúka.
• Pri klasickom meraní sa určovala astronomická zemepisná šírka φ pre oba body a potom sa vypočítal rozdiel Δφ (v radiánoch). Na guľovej Zemi by dĺžka oblúka s bola s = R · Δφ, kde R je polomer Zeme.
• Na skutočnom elipsoide je meridiánová dĺžka o niečo zložitejšia: diferenciálna dĺžka je ds = M(φ) dφ, kde M(φ) je polomer krivosti v meridiáne. Pre elipsoid s veľkou osou a a excentricitou e platí
  M(φ) = a(1 − e²) / (1 − e² sin² φ)^(3/2),
  takže meridiánový oblúk medzi φ1 a φ2 je integrál s = ∫_{φ1}^{φ2} M(φ) dφ. V praxi sa tento integrál vyjadruje sériovým rozvojom alebo numericky.
• Ak je k dispozícii len jedna mera (rovnaká zemepisná dĺžka), jej použitie pre odhad celkového tvaru je obmedzené — preto sa merajú oblúky na rôznych zemepisných šírkach a spoja sa ďalšími typmi meraní (gravimetria, satelitné pozorovania).

Výpočet na sfére a elipsoide (praktické vzťahy)

Pre ideálnu guľu: s = R · Δφ (Δφ v radiánoch). Pre zmenu o 1° pri R ≈ 6 371 km predstavuje oblúk približne 111,32 km.

Pre elipsoid je vhodné použiť hodnoty parametrov referenčného elipsoidu (napr. WGS84 alebo GRS80): veľká poloos a a sploštenie f dávajú excentricitu e² = 2f − f². Bežne používané parametre WGS84: a = 6 378 137 m, f ≈ 1/298,257223563. S týmito hodnotami sa meridiánový obvod Zeme (od pólu k pólu a späť) počíta na približne 40 007,86 km; rovníkový obvod je asi 40 075,02 km.

Historické príklady a ich význam

Eratosthenes stanovil, že uhol medzi dvoma mestami pri rovnakom okamihu je 7,2° (1/50 kruhu). Preto ak poznáte vzdialenosť medzi mestami (s), potom obvod Zeme C = 50 · s. Eratosthenes použil informácie o tieni v Alexandrii a o zenite v Syene a odhadol vzdialenosť medzi mestami zo správ obchodníkov alebo meraní ciest. Podľa jeho údajov vyšlo približne 250 000 stadiónov; v prepočte to zodpovedá odhadom v rozmedzí, ktoré je v poriadku v rámci niekoľkých percent oproti moderným hodnotám (presná kilometrová hodnota závisí od použitej dĺžky stadiónu). Táto metóda bola prelomová, pretože preukázala, že Zem má veľký a merateľný obvod.

V 17. a 18. storočí sa merali dlhé meridiánové oblúky (napr. expedícia Maupertuisa na meridiáne v Laponsku, merania Delambre & Méchain vo Francúzsku), ktoré viedli k presnému určeniu tvaru Zeme a dokonca k definovaniu metre ako zlomku vzdialenosti od rovníka k pólu (1/10 000 000 meridiánu od rovníka k pólu podľa pôvodnej definície).

Newton a sploštenie Zeme

Newton v Principiách ukázal, že teleso rotujúce okolo osi bude mať tvar oblatného spheroidu, teda sploštené pri póloch. Z jeho výpočtov vyplývalo teoretické sploštenie približne 1/230. Moderné merania ukázali menšie sploštenie (približne 1/298 podľa súčasných elipsoidov ako WGS84 alebo GRS80), pretože Newtonový model zanedbával niektoré zložité rozloženia hustoty a efekty vnútorných síl Zeme, ktoré ovplyvňujú presný tvar.

Moderné metódy a referenčné elipsoidy

• Satelitná geodézia (GPS, GNSS, SLR — Satellite Laser Ranging, VLBI — Very Long Baseline Interferometry) poskytuje veľmi presné pozície na celej Zemi a umožňuje určiť tvar Zeme a jej gravitačné pole s veľkou presnosťou.
• Gravimetria dopĺňa informácie o vnútornom rozložení hmoty Zeme; kombináciou gravimetrie a meridiánových oblúkov je možné oddeliť efekty topografie a masových anomálií od globálneho tvaru.
• Výsledkom týchto meraní sú referenčné elipsoidy (napr. WGS84, GRS80), ktoré sa používajú pre mapy, navigáciu a súčasné geodetické siete. Tieto elipsoidy poskytujú štandardizovaný matematický model Zeme, ku ktorému sa vzťahujú všetky merania polohy.

Zhrnutie použití poludníkových oblúkov

• Priama informácia o meridiánovom polomere a sploštení Zeme.
• Základ pre tvorbu referenčných elipsoidov a geodetických sústav.
• Historický význam pri určení veľkosti Zeme (Eratosthenes) a pri definícii metrických jednotiek.
• Doplnok k moderným satelitným a gravimetrickým metódam pre presné modelovanie geoidu a elipsoidu.

Poznámka: Pri fyzickom meraní poludníkového oblúka sa vždy kombinuje astronomické určenie zemepisných šírok s presnou sieťou pozemných meraní (triangulácia, GNSS) a často s gravimetrickými údajmi, aby sa zabezpečila najvyššia možná presnosť a odlíšili lokálne anomálie od globálneho tvaru Zeme.

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to meridiánový oblúk?

Otázka: Ako sa určujú referenčné elipsoidy?

Otázka: Kto bol Eratostenes a čím sa zaoberal?

Otázka: Kedy Newton uverejnil svoj dôkaz o tom, že Zem je oblý sféroid?

Hľadajte podľa písmena