Monty Hallov problém: vysvetlenie, pravidlá a prečo zmena zvyšuje šancu
Monty Hallov problém — jasné vysvetlenie, pravidlá a dôvod, prečo zmena zvýši šancu z 1/3 na 2/3. Naučte sa stratégie a ukážkové príklady.
Monty Hallov problém je známy problém pravdepodobnosti (náhody). Problém vychádza z televíznej hry Let's Make a Deal (Urobme dohodu) zo Spojených štátov. Je pomenovaný podľa tejto relácie, Monty Hall.
Pravidlá
Predstavte si, že pred vami sú tri dvere. Za jednými dverami je auto (cena s vysokou hodnotou) a za zostávajúcimi dvoma dverami sú kozy (ceny s nízkou hodnotou). Pravidlá hry sú tieto:
- Hráč si najprv vyberie jedny z troch dverí, ale tieto dvere sa neotvoria.
- Hostiteľ, ktorý vie, čo je za každými dverami, potom otvorí jedny z tých dvoch nevybraných dverí tak, aby za nimi bola koza (hostiteľ nikdy neodhalí auto).
- Hostiteľ vždy ponúkne hráčovi možnosť zostať pri svojej pôvodnej voľbe alebo ju zmeniť na posledné zostávajúce zatvorené dvere.
Dôležitý predpoklad: hostiteľ musí otvoriť dvere s kozou a musí ponúknuť možnosť zmeny (switch). Ak sa tieto podmienky zmenia, nemenia sa aj pravdepodobnosti takto popísaným spôsobom.
Prečo zmena zvyšuje šancu
Intuitívne sa zdá, že po otvorení jedných dverí zostávajú dve zatvorené dvere a šanca by mala byť 50:50. To je však mylné, pretože otvorenie dverí hostiteľom nie je nezávislé náhodné vybratie — hostiteľ cielene otvorí dvere s kozou. Rozbor:
- Keď hráč prvýkrát vyberie dvere, pravdepodobnosť, že vybral auto, je 1/3.
- Pravdepodobnosť, že auto je za jednými z dvoch ostatných dverí, je teda 2/3.
Keď hostiteľ otvorí jedny z dvoch dverí, za ktorými je koza, nenarúša to počiatočné rozdelenie pravdepodobností: ak ste pôvodne trafili auto (pravdepodobnosť 1/3), výmena vás pripraví o auto; ak ste pôvodne trafili kozu (pravdepodobnosť 2/3), hostiteľ otvorí druhú kozu a výmena vás dovedie k autu. Preto výmena zvyšuje šancu na výhru z 1/3 na 2/3.
Tri možné scenáre (prehľadne)
- Hráč pôvodne vyberie auto (pravdepodobnosť 1/3): hostiteľ otvorí jeden z dvoch dverí s kozou. Ak hráč zmení voľbu, prehrá (dostane kozu).
- Hráč pôvodne vyberie kozu (pravdepodobnosť 1/3): hostiteľ otvorí druhú kozu; ak hráč zmení voľbu, získa auto (výhra).
- Hráč pôvodne vyberie druhú kozu (pravdepodobnosť 1/3): hostiteľ otvorí prvú kozu; ak hráč zmení voľbu, získa auto (výhra).
Z toho vyplýva, že pri strate/pôvodnom výbere auta prehráte len v jednom z troch prípadov, ale pri pôvodnom výbere kozy (dva z troch prípadov) výmena vedie k výhre. Preto výmena vyhráva v 2/3 prípadov.
Ďalšie vysvetlenia a overenie
Ak chcete intuitívnejšiu predstavu, predstavte si rozšírenie problému na 100 dverí: vyberiete jedny dvere (pravdepodobnosť, že auto máte za nimi je 1/100). Hostiteľ otvorí 98 dverí, za ktorými sú kozy, a zostanú dve — vaše pôvodné a ešte jedny zatvorené. Je veľmi pravdepodobné, že auto je v tej jedinej veľkej skupine „ostatné dvere“, teda v tom jednom zostávajúcom zatvorenom poli, nie vo vašich pôvodných dverách. Preto prepnutie prakticky vždy získa auto, čo zodpovedá myšlienke 2/3 pri troch dverách.
Môžete si výsledok overiť aj simuláciou (počítačom alebo opakovaným hraním s kartami): po mnohých opakovaniach stratégie „vždy zostať“ a „vždy zmeniť“ uvidíte, že stratégia zmeny vyhrá približne dvakrát častejšie.
Variácie a dôležité predpoklady
Výsledok 2/3 pre zmenu platí len ak sú splnené tieto podmienky:
- Hostiteľ vždy otvorí dvere s kozou (nikdy neodhalí auto).
- Hostiteľ vždy ponúkne možnosť zmeny (switch).
- Ak sú dve možne „kozie“ dvere, hostiteľ si medzi nimi vyberie náhodne (alebo podľa pevného pravidla) — ale vždy ukáže kozu.
Ak hostiteľ koná inak (napríklad niekedy neponúkne možnosť zmeny, alebo otvorí dvere náhodne bez znalosti obsahu), potom sa pravdepodobnosti menia a treba problém analyzovať konkrétne podľa nových pravidiel.
Zhrnutie
Monty Hallov problém ukazuje, že pri pôvodných pravidlách má zmena voľby (switch) lepšiu šancu na výhru: z 1/3 na 2/3. Hlavná príčina je, že hostiteľovo otvorenie dverí nie je nezávislý náhodný úkon — informácia, že otvorené dvere skrývajú kozu, zvyšuje pravdepodobnosť, že auto je za tým druhým zatvoreným dverami.
Otázky a odpovede
Otázka: Čo je to problém Monty Hall?
Odpoveď: Monty Hallov problém je známy pravdepodobnostný (náhodný) problém, ktorý vychádza z televíznej hry Let's Make a Deal zo Spojených štátov. Zahŕňa tri dvere, z ktorých jedny majú za sebou auto a dvoje z nich majú za sebou kozy.
Otázka: Čo vie moderátor?
Odpoveď: Hostiteľ vie, čo je za každými dverami, a vždy si vyberie otvoriť dvere, za ktorými je koza.
Otázka: Zvyšuje zmena výberu šancu na získanie auta?
Odpoveď: Áno, zmena výberu zvyšuje šancu na získanie auta z 1/3 (jedna z troch) na 2/3 (dve z troch).
Otázka: Ako táto pravdepodobnosť funguje?
Odpoveď: Pri počiatočnom výbere dverí je len 1/3 šanca, že si hráč vyberie dvere s autom. Potom existuje 2/3 šanca, že ak zmení svoju voľbu po tom, čo uvidí jedny z ďalších dverí otvorených hostiteľom, získa auto.
Otázka: Sú všetky možnosti rovnaké z hľadiska výhry alebo prehry?
Odpoveď: Nie, existujú tri rôzne možnosti výhry alebo prehry v závislosti od toho, či zmeníte svoju voľbu po tom, čo uvidíte jedny z ďalších dverí otvorených hostiteľom. Ak si na začiatku vyberiete správne a potom zmeníte svoju voľbu, prehráte; ak si na začiatku vyberiete nesprávne, ale potom zmeníte svoju voľbu, vyhráte; a ak si na začiatku vyberiete správne, ale potom nezmeníte svoju voľbu, tiež vyhráte.
Otázka: Je pravda, že prepínanie zvyšuje vaše šance na výhru v dvoch prípadoch z troch?
Odpoveď: Áno, je pravda, že zmena výberu zvyšuje vaše šance na výhru v dvoch prípadoch z troch.
Prehľadať