Kournikovová sa narodila v roku 1981 v Moskve, Rusko, Zväz sovietskych socialistických republík. Jej matka sa volá Alla a otec Ser. Tenisovú raketu prvýkrát vzala do ruky, keď mala päť rokov a vstúpila do tenisového klubu Spartak. Veľmi sa zlepšovala a keď mala 10 rokov, presťahovala sa na Floridu, kde trénovala v akadémii.
V roku 2000 sa objavili správy, že sa vydá za ruského hráča NHL Pavla Bureho. Ďalší ruský hokejista Sergej Fiodorov, ktorý hral za Detroit Red Wings, povedal, že sa s Kournikovou oženil v roku 2001, ale ešte v tom istom roku sa rozviedli. V roku 2002 účinkovala vo videoklipe s Enriquem Iglesiasom k jeho piesni Escape. Po tomto videoklipe bola Iglesiasovou priateľkou, ale neskôr povedala, že sa nechce vydať. Iglesias povedal, že Kournikova stále odmietala, keď ju žiadal o ruku. Povedal: "Vždy sa o to snažím, ale ona nechce." Kournikovová povedala, že nemá záujem o svadbu: "Nikdy sa nevydám. Všetko je dobré."
V roku 2002 bola druhou najvyhľadávanejšou športovkyňou na Googli a čitatelia magazínu FHM ju zvolili za "najsexi ženu sveta". Niektorí odborníci pracujúci pre ESPN ju však zvolili za 18. najväčší športový neúspech v rokoch 1979 až 2004.
Odhaduje sa, že Kournikovová zarobila za svoju kariéru v roku 2007 približne 50 miliónov libier, ale väčšina z nich nepochádza z tenisu. Povedala: "Už nemôžete byť len skvelou tenistkou alebo len krásnou osobou, aby ste uspeli v hre. Musíte mať všetko: talent, vzhľad, rozum a snahu."
16. decembra 2017 Anna a Enrique Iglesiasovci privítali dvojičky, chlapca Nicholasa Iglesiasa a dievčatko Lucy Iglesias, ktoré sa narodili v Miami po veľmi súkromnom tehotenstve.
