Hyperbolická geometria — definícia, modely a paralelný postulát

Objavte hyperbolickú geometriu: definície, modely, dôkaz nezávislosti paralelného postulátu, asymptotické a ultraparalelné priamky s jasnými príkladmi.

Autor: Leandro Alegsa

V matematike je hyperbolická geometria neeuklidovskou geometriou, čo znamená, že sa v nej nahrádza postulát o rovnobežke z euklidovskej geometrie. Postulát o rovnobežnosti v euklidovskej geometrii hovorí, že v dvojrozmernom priestore pre ľubovoľnú danú priamku l a bod P, ktorý nie je na l, existuje presne jedna priamka prechádzajúca cez P, ktorá nepretína l. Táto priamka sa nazýva rovnobežná s l. V hyperbolickej geometrii existujú aspoň dve takéto priamky prechádzajúce cez P. Keďže nepretínajú l, postulát o rovnobežnosti je nepravdivý. V rámci euklidovskej geometrie boli skonštruované modely, ktoré sa riadia axiómami hyperbolickej geometrie. Tieto modely dokazujú, že paralelný postulát je nezávislý od ostatných Euklidových postulátov.

Keďže neexistuje hyperbolická obdoba euklidovských rovnobežiek, hyperbolické používanie rovnobežiek a súvisiacich pojmov sa u rôznych autorov líši. V tomto článku sa dve hraničné priamky nazývajú asymptotické a priamky, ktoré majú spoločnú kolmicu, sa nazývajú ultraparalelné; jednoduché slovo rovnobežka sa môže použiť pre obe.

Definícia a základné vlastnosti

Hyperbolická geometria je geometria konštantnej zápornéj krivosti. V dvojrozmernom prípade hovoríme o hyperbolickom priestore alebo hyperbolickej rovine (často označovanej H^2). Hlavné rozdiely oproti euklidovskej geometrii zahŕňajú:

  • Viacero "rovnobežiek" cez daný bod k danej priamke (aspoň dve).
  • Súčet uhlov trojuholníka je vždy menší než 180°; rozdiel 180° − (súčet uhlov) sa nazýva uhlový defekt a je úmerný obsahu trojuholníka.
  • Obvod a obsah kružnice rastú exponenciálne s polomerom (na rozdiel od lineárneho/radiálneho rastu v euklidovskej geometrii).
  • Niektoré konštrukcie (napr. podobnosť v klasickom zmysle) majú iné vlastnosti alebo neexistujú tak, ako v euklidovskej geometrii.

Modely hyperbolickej geometrie

Na štúdium hyperbolickej geometrie sa používajú rôzne modely, ktoré umožňujú reprezentovať body a priamky hyperbolickej roviny v známych prostrediach (Euklidovom priestore alebo komplexnej rovine). Najpoužívanejšie sú:

  • Poincarého diskový model (model otvoreného jednotkového disku):
    • Body sú body v otvorenom jednotkovom diskovom hárku.
    • Hyperbolické priamky sú kruhové oblúky kolmé na hranicu disku (alebo priame úsečky priemeru).
    • Metriu dáva Riemannovská metrika, ktorá spôsobuje, že vzdialenosti pri blízkosti hranice rastú veľmi rýchlo.
  • Poincarého horný polorovinný model (upper half-plane):
    • Body sú body v hornej polorovine Im(z) > 0.
    • Geodetiky sú zvislé priamky a polkruhy kolmé na reálnu os.
    • Umožňuje silné prepojenie s komplexnou analýzou a modulovými funkciami.
  • Kleinov (projektívny) model:
    • Body sú znova v jednotkovom disku, ale hyperbolické priamky sú euklidovské úsečky (chordy) disku.
    • Nevyhovuje konformite (neroztavuje uhly) na rozdiel od Poincarého modelov, ale je užitočný z hľadiska projektívnej geometrie a jednoduchosti priamok.
  • Beltramiho model (povrch pseudosféry a iné lokálne modely):

Tieto modely sú ekvivalentné z hľadiska axiomatickej geometrie — každý z nich zobrazuje hyperbolickú rovinu s inou metrikou, ale všetky zachovávajú geodetiky a izometrie v zmysle hyperbolickej geometrie. Práve konštrukcia takýchto modelov (najmä Beltrami, Klein, Poincaré) ukázala, že hyperbolická geometria je konzistentná, ak sú konzistentné euklidovské axiómy.

Paralelný postulát a jeho varianty

V hyperbolickej geometrii sa za "rovnobežky" považujú rôzne situácie; bežne rozlišujeme:

  • Asymptotické priamky — dve priamky, ktoré sa približujú k sebe k "hraničnému bodu na nekonečne" a v modeli sa dotýkajú hranice v rovnakom bode.
  • Ultraparalelné priamky — priamky, ktoré majú spoločnú kolmicu (existuje priamka kolmá na obe), ale nemajú žiadny spoločný bod ani v priestore, ani na hranici.

Tieto rozdiely v terminológii sú dôležité pri formulovaní paralelného postulátu pre hyperbolickú geometriu: namiesto "presne jednej rovnobežnej" sa hovorí, že pre zvolenú priamku a bod mimo nej existujú aspoň dve priamky, ktoré s ňou nemajú prienik.

Geometrické dôsledky

  • Trojuholníky: Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je menší ako 180°; uhlový defekt δ = 180° − (α+β+γ) je priamo úmerný ploche trojuholníka (v jednotkách krivosti). To znamená, že obsah trojuholníka je nezávislý od jeho "veľkosti" v euklidovskom zmysle a rastie s defektom.
  • Kružnice a ich obvod: Obvod kružnice s hyperbolickým polomerom r je väčší než 2πr a rastie exponenciálne pri veľkých r.
  • Podobnosť a škálovanie: V hyperbolickej geometrii nie sú klasické euklidovské podobnosti (okrem izometrií) tak bežné; nedá sa voľne zväčšovať alebo zmenšovať konfigurácie bez zmeny metrických vlastností.

Izometrie a symetrie

Izometrie hyperbolickej roviny (transformácie zachovávajúce hyperbolickú vzdialenosť) tvoria skupinu, ktorá v 2D zodpovedá skupine PSL(2,R) v modeloch založených na komplexnej rovine. Izometrie sú klasifikované ako:

  • Hyperbolické (majú dve fixné body na hranici),
  • Parabolické (majú jeden fixný bod na hranici, sú analógie "posunu" na nekonečne),
  • Eliptické (majú vnútorný fixný bod — rotácie okolo neho).

Tieto transformácie sú základom štúdia kresieb (tilings), diskrétnych grup pôsobiacich na hyperbolickej rovine a mnohých aplikácií v teórii čísel a topológii povrchov.

Historický kontext a aplikácie

Hyperbolická geometria sa vyvinula v 19. storočí nezávisle u Nikolaja Lobachevského, Jánosa Bolyaiho a čiastočne ako myšlienkový produkt Gaussa. Dôležitý krok k akceptácii hyperbolickej geometrie nastal, keď Beltrami a neskôr Klein a Poincaré konštruovali modely v euklidovskej geometrii, ktoré preukázali, že ak je euklidovská geometria konzistentná, potom je konzistentná aj geometria hyperbolická.

Aplikácie hyperbolickej geometrie zahŕňajú:

  • teóriu relativity a modelovanie priestorov s netriviálnou metrikou,
  • grafické a umelecké zobrazenia (napr. diela M. C. Eschera založené na hyperbolických tilingoch),
  • teóriu Teichmüllerových priestorov a topológiu uzavretých povrchov,
  • komplexnú analýzu (uniformizácia) a štúdium modulárnych foriem pomocou pôsobenia diskrétnych subgroup PSL(2,R).

Záver

Hyperbolická geometria ukazuje, že zmena jediného postulátu (paralelného postulátu) vedie k bohatej a konzistentnej teórii s vlastnými zákonitosťami a aplikáciami. Modely ako Poincarého disk alebo horná polorovina sú kľúčové pre pochopenie a vizualizáciu týchto vlastností a zároveň dokazujú nezávislosť paralelného postulátu od ostatných euklidovských axióm.

Hyperbolický trojuholníkZoom
Hyperbolický trojuholník

Priamky prechádzajúce daným bodom P a asymptotické k priamke l.Zoom
Priamky prechádzajúce daným bodom P a asymptotické k priamke l.

Nepriesečníkové čiary

Z výskytu viac ako jednej rovnobežnej priamky prechádzajúcej bodom P vyplýva zaujímavá vlastnosť hyperbolickej geometrie: existujú dve triedy nepriesečníkov. Nech B je taký bod na l, že priamka PB je kolmá na l. Uvažujme priamku x prechádzajúcu cez P takú, že x nepretína l a uhol θ medzi PB a x proti smeru hodinových ručičiek od PB je čo najmenší; t. j. akýkoľvek menší uhol prinúti priamku pretnúť l. Takáto priamka sa v hyperbolickej geometrii nazýva asymptotická priamka. Symetricky bude asymptotická aj priamka y, ktorá medzi PB a sebou samou zviera rovnaký uhol θ, ale v smere hodinových ručičiek od PB. x a y sú jediné dve priamky asymptotické k l prechádzajúce cez P. Všetky ostatné priamky prechádzajúce cez P, ktoré nepretínajú l, s uhlom väčším ako θ s PB, sa nazývajú ultraparalelné (alebo disjunktne rovnobežné) s l. Všimnite si, že keďže existuje nekonečný počet možných uhlov medzi θ a 90 stupňov a každý z nich určí dve priamky prechádzajúce P a disjunktne rovnobežné s l, existuje nekonečný počet ultraparalelných priamok.

Máme teda túto modifikovanú formu paralelného postulátu: V hyperbolickej geometrii, ak je daná ľubovoľná priamka l a bod P, ktorý nie je na l, existujú presne dve priamky prechádzajúce cez P, ktoré sú asymptotické k l, a nekonečne veľa priamok prechádzajúcich cez P ultraparalelne k l.

Na rozdiely medzi týmito typmi priamok sa môžeme pozrieť aj takto: vzdialenosť medzi asymptotickými priamkami sa v jednom smere rovná nule a v druhom smere rastie bez obmedzenia; vzdialenosť medzi ultraparalelnými priamkami rastie v oboch smeroch. Veta o ultraparalelných priamkach hovorí, že v hyperbolickej rovine existuje jedinečná priamka, ktorá je kolmá na každú z danej dvojice ultraparalelných priamok.

V euklidovskej geometrii je uhol rovnobežnosti konštantný, to znamená, že akákoľvek vzdialenosť ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert } {\displaystyle \lVert BP\rVert }medzi rovnobežnými priamkami dáva uhol rovnobežnosti rovný 90°. V hyperbolickej geometrii sa uhol rovnobežnosti mení pomocou {\displaystyle \Pi (p)}funkcie Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)}. Táto funkcia, ktorú opísal Nikolaj Ivanovič Lobačevskij, vytvára jedinečný uhol rovnobežnosti pre každú vzdialenosť p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } {\displaystyle p=\lVert BP\rVert }. S klesajúcou vzdialenosťou sa Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} {\displaystyle \Pi (p)}blíži k 90°, zatiaľ čo s rastúcou vzdialenosťou sa Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)}{\displaystyle \Pi (p)} blíži k 0°. Preto sa hyperbolická rovina so zmenšujúcimi sa vzdialenosťami správa čoraz viac ako euklidovská geometria. Naozaj, v malých mierkach v porovnaní s 1- K {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}} {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}}, kde K {\displaystyle K\! }{\displaystyle K\!} je (konštantná) Gaussova krivosť roviny, pozorovateľ by mal problém určiť, či sa nachádza v euklidovskej alebo hyperbolickej rovine.

História

O dôkaz paralelného postulátu sa pokúsilo viacero geometrov, vrátane Omara Chajjáma a neskôr Giovanniho Gerolama Saccheriho, Johna Wallisa, Lamberta a Legendra. Ich pokusy boli neúspešné, ale ich snaha stála pri zrode hyperbolickej geometrie. Alhacenove, Chajjámove vety o štvoruholníkoch boli prvými vetami o hyperbolickej geometrii. Ich práce o hyperbolickej geometrii mali vplyv na jej rozvoj u neskorších európskych geometrov, vrátane Witelo, Alfonsa a Johna Wallisa.

V devätnástom storočí sa hyperbolickou geometriou zaoberali János Bolyai a Nikolaj Ivanovič Lobačevskij, po ktorom je niekedy pomenovaná. Lobačevskij ju publikoval v roku 1830, zatiaľ čo Bolyai ju objavil nezávisle a publikoval v roku 1832. Hyperbolickou geometriou sa zaoberal aj Karl Friedrich Gauss, ktorý v liste Taurinovi z roku 1824 opísal, že ju skonštruoval, ale svoju prácu nepublikoval. V roku 1868 Eugenio Beltrami poskytol jej modely a využil to na dôkaz, že hyperbolická geometria je konzistentná, ak je euklidovská geometria.

Pojem "hyperbolická geometria" zaviedol Felix Klein v roku 1871. Viac o histórii nájdete v článku o neeuklidovskej geometrii.

Modely hyperbolickej roviny

Pre hyperbolickú geometriu sa bežne používajú tri modely: Kleinov model, model Poincarého disku a Lorentzov model alebo model hyperboloidu. Tieto modely definujú reálny hyperbolický priestor, ktorý spĺňa axiómy hyperbolickej geometrie. Napriek pomenovaniu oba diskové modely a model polroviny zaviedol ako modely hyperbolického priestoru Beltrami, nie Poincaré alebo Klein.

  1. Kleinov model, známy aj ako model projektívneho disku a Beltramiho-Kleinov model, používa vnútro kružnice ako hyperbolickú rovinu a osi kružnice ako priamky.
  2. Poincaréov model polroviny považuje polovicu euklidovskej roviny, určenú euklidovskou priamkou B, za hyperbolickú rovinu (samotná B nie je zahrnutá).
    • Hyperbolické priamky sú potom buď polkruhy kolmé na B, alebo lúče kolmé na B.
    • Oba Poincarého modely zachovávajú hyperbolické uhly, a preto sú konformné. Všetky izometrie v rámci týchto modelov sú preto Möbiovými transformáciami.
    • Poloplošný model je (na hranici) totožný s modelom Poincarého disku na okraji disku
    • Tento model je priamo aplikovateľný na špeciálnu teóriu relativity, pretože Minkowského 3-priestor je modelom časopriestoru, ktorý potláča jeden priestorový rozmer. Hyperboloid môžeme považovať za reprezentáciu udalostí, ktoré rôzni pohybujúci sa pozorovatelia, vyžarujúci von v priestorovej rovine z jedného bodu, dosiahnu za pevne stanovený vlastný čas. Hyperbolickú vzdialenosť medzi dvoma bodmi na hyperboloide možno potom stotožniť s relatívnou rýchlosťou medzi dvoma príslušnými pozorovateľmi.
Poincarého diskový model veľkej kosoštvorcovej dlaždice {3,7}Zoom
Poincarého diskový model veľkej kosoštvorcovej dlaždice {3,7}

Vizualizácia hyperbolickej geometrie

M. Slávne grafiky C. Eschera Circle Limit III a Circle Limit IV celkom dobre ilustrujú konformný model disku. Na oboch je vidieť geodetické dráhy. (Na obrázku III biele čiary nie sú geodetickými čiarami, ale hypercyklami, ktoré prebiehajú popri nich.) Takisto je možné celkom zreteľne vidieť záporné zakrivenie hyperbolickej roviny prostredníctvom jej vplyvu na súčet uhlov v trojuholníkoch a štvorcoch.

V euklidovskej rovine by ich uhly tvorili súčet 450°, t. j. kruh a štvrť. Z toho vyplýva, že súčet uhlov trojuholníka v hyperbolickej rovine musí byť menší ako 180°. Ďalšou viditeľnou vlastnosťou je exponenciálny rast. V Obmedzení kruhu IV napríklad vidíme, že počet anjelov a démonov vo vzdialenosti n od stredu exponenciálne rastie. Démoni majú rovnakú hyperbolickú plochu, takže plocha gule s polomerom n musí rásť exponenciálne v n.

Existuje niekoľko spôsobov, ako fyzicky realizovať hyperbolickú rovinu (alebo jej aproximáciu). Obzvlášť známy je papierový model založený na pseudosfére, ktorý má na svedomí William Thurston. Na demonštráciu hyperbolických rovín sa využíva umenie háčkovania, pričom prvý takýto model vytvorila Daina Taimina. V roku 2000 Keith Henderson demonštroval rýchlo vyrobiteľný papierový model nazvaný "hyperbolická futbalová lopta".

Zbierka háčkovaných hyperbolických plôch v imitácii koralového útesu od Institute For FiguringZoom
Zbierka háčkovaných hyperbolických plôch v imitácii koralového útesu od Institute For Figuring

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to hyperbolická geometria?


Odpoveď: Hyperbolická geometria je neeuklidovská geometria, čo znamená, že postulát o rovnobežkách, ktorý definuje euklidovskú geometriu, neplatí. Na hyperbolickej rovine sa priamky, ktoré boli na začiatku rovnobežné, od seba stále viac vzďaľujú.

Otázka: Čím sa hyperbolická geometria líši od bežnej rovinnej geometrie?


Odpoveď: Nahradenie pravidla euklidovskej geometrie pravidlom hyperbolickej geometrie znamená, že sa správa inak ako bežná rovinná geometria. Napríklad trojuholníky budú mať uhly, ktorých súčet je menší ako 180 stupňov, čo znamená, že sú príliš špicaté a budú vyzerať, akoby sa strany prepadávali do stredu.

Otázka: Existujú nejaké skutočné objekty, ktoré majú tvar kúskov hyperbolickej roviny?


Odpoveď: Áno, niektoré druhy koralov a šalátu majú tvar kúskov hyperbolickej roviny.

Otázka: Prečo by mohlo byť jednoduchšie nakresliť mapu internetu, keď vaša mapa nie je rovinná?


Odpoveď: Môže byť jednoduchšie nakresliť mapu internetu, keď vaša mapa nie je plochá, pretože na okrajoch je viac počítačov, ale v strede je ich veľmi málo.

Otázka: Platí tento koncept aj na niečo iné okrem mapovania počítačových sietí?


Odpoveď: Niektorí fyzici si dokonca myslia, že náš vesmír je trochu hyperbolický.


Prehľadať
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3