Hyperbolická geometria — definícia, modely a paralelný postulát

Z výskytu viac ako jednej rovnobežnej priamky prechádzajúcej bodom P vyplýva zaujímavá vlastnosť hyperbolickej geometrie: existujú dve triedy nepriesečníkov. Nech B je taký bod na l, že priamka PB je kolmá na l. Uvažujme priamku x prechádzajúcu cez P takú, že x nepretína l a uhol θ medzi PB a x proti smeru hodinových ručičiek od PB je čo najmenší; t. j. akýkoľvek menší uhol prinúti priamku pretnúť l. Takáto priamka sa v hyperbolickej geometrii nazýva asymptotická priamka. Symetricky bude asymptotická aj priamka y, ktorá medzi PB a sebou samou zviera rovnaký uhol θ, ale v smere hodinových ručičiek od PB. x a y sú jediné dve priamky asymptotické k l prechádzajúce cez P. Všetky ostatné priamky prechádzajúce cez P, ktoré nepretínajú l, s uhlom väčším ako θ s PB, sa nazývajú ultraparalelné (alebo disjunktne rovnobežné) s l. Všimnite si, že keďže existuje nekonečný počet možných uhlov medzi θ a 90 stupňov a každý z nich určí dve priamky prechádzajúce P a disjunktne rovnobežné s l, existuje nekonečný počet ultraparalelných priamok.

Máme teda túto modifikovanú formu paralelného postulátu: V hyperbolickej geometrii, ak je daná ľubovoľná priamka l a bod P, ktorý nie je na l, existujú presne dve priamky prechádzajúce cez P, ktoré sú asymptotické k l, a nekonečne veľa priamok prechádzajúcich cez P ultraparalelne k l.

Na rozdiely medzi týmito typmi priamok sa môžeme pozrieť aj takto: vzdialenosť medzi asymptotickými priamkami sa v jednom smere rovná nule a v druhom smere rastie bez obmedzenia; vzdialenosť medzi ultraparalelnými priamkami rastie v oboch smeroch. Veta o ultraparalelných priamkach hovorí, že v hyperbolickej rovine existuje jedinečná priamka, ktorá je kolmá na každú z danej dvojice ultraparalelných priamok.

V euklidovskej geometrii je uhol rovnobežnosti konštantný, to znamená, že akákoľvek vzdialenosť ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert } medzi rovnobežnými priamkami dáva uhol rovnobežnosti rovný 90°. V hyperbolickej geometrii sa uhol rovnobežnosti mení pomocou funkcie Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)}. Táto funkcia, ktorú opísal Nikolaj Ivanovič Lobačevskij, vytvára jedinečný uhol rovnobežnosti pre každú vzdialenosť p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } . S klesajúcou vzdialenosťou sa Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} blíži k 90°, zatiaľ čo s rastúcou vzdialenosťou sa Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} blíži k 0°. Preto sa hyperbolická rovina so zmenšujúcimi sa vzdialenosťami správa čoraz viac ako euklidovská geometria. Naozaj, v malých mierkach v porovnaní s 1- K {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}} , kde K {\displaystyle K\! } je (konštantná) Gaussova krivosť roviny, pozorovateľ by mal problém určiť, či sa nachádza v euklidovskej alebo hyperbolickej rovine.

O dôkaz paralelného postulátu sa pokúsilo viacero geometrov, vrátane Omara Chajjáma a neskôr Giovanniho Gerolama Saccheriho, Johna Wallisa, Lamberta a Legendra. Ich pokusy boli neúspešné, ale ich snaha stála pri zrode hyperbolickej geometrie. Alhacenove, Chajjámove vety o štvoruholníkoch boli prvými vetami o hyperbolickej geometrii. Ich práce o hyperbolickej geometrii mali vplyv na jej rozvoj u neskorších európskych geometrov, vrátane Witelo, Alfonsa a Johna Wallisa.

V devätnástom storočí sa hyperbolickou geometriou zaoberali János Bolyai a Nikolaj Ivanovič Lobačevskij, po ktorom je niekedy pomenovaná. Lobačevskij ju publikoval v roku 1830, zatiaľ čo Bolyai ju objavil nezávisle a publikoval v roku 1832. Hyperbolickou geometriou sa zaoberal aj Karl Friedrich Gauss, ktorý v liste Taurinovi z roku 1824 opísal, že ju skonštruoval, ale svoju prácu nepublikoval. V roku 1868 Eugenio Beltrami poskytol jej modely a využil to na dôkaz, že hyperbolická geometria je konzistentná, ak je euklidovská geometria.

Pojem "hyperbolická geometria" zaviedol Felix Klein v roku 1871. Viac o histórii nájdete v článku o neeuklidovskej geometrii.

Pre hyperbolickú geometriu sa bežne používajú tri modely: Kleinov model, model Poincarého disku a Lorentzov model alebo model hyperboloidu. Tieto modely definujú reálny hyperbolický priestor, ktorý spĺňa axiómy hyperbolickej geometrie. Napriek pomenovaniu oba diskové modely a model polroviny zaviedol ako modely hyperbolického priestoru Beltrami, nie Poincaré alebo Klein.

1. Kleinov model, známy aj ako model projektívneho disku a Beltramiho-Kleinov model, používa vnútro kružnice ako hyperbolickú rovinu a osi kružnice ako priamky.
2. Poincaréov model polroviny považuje polovicu euklidovskej roviny, určenú euklidovskou priamkou B, za hyperbolickú rovinu (samotná B nie je zahrnutá).
• Hyperbolické priamky sú potom buď polkruhy kolmé na B, alebo lúče kolmé na B.
• Oba Poincarého modely zachovávajú hyperbolické uhly, a preto sú konformné. Všetky izometrie v rámci týchto modelov sú preto Möbiovými transformáciami.
• Poloplošný model je (na hranici) totožný s modelom Poincarého disku na okraji disku
• Tento model je priamo aplikovateľný na špeciálnu teóriu relativity, pretože Minkowského 3-priestor je modelom časopriestoru, ktorý potláča jeden priestorový rozmer. Hyperboloid môžeme považovať za reprezentáciu udalostí, ktoré rôzni pohybujúci sa pozorovatelia, vyžarujúci von v priestorovej rovine z jedného bodu, dosiahnu za pevne stanovený vlastný čas. Hyperbolickú vzdialenosť medzi dvoma bodmi na hyperboloide možno potom stotožniť s relatívnou rýchlosťou medzi dvoma príslušnými pozorovateľmi.

M. Slávne grafiky C. Eschera Circle Limit III a Circle Limit IV celkom dobre ilustrujú konformný model disku. Na oboch je vidieť geodetické dráhy. (Na obrázku III biele čiary nie sú geodetickými čiarami, ale hypercyklami, ktoré prebiehajú popri nich.) Takisto je možné celkom zreteľne vidieť záporné zakrivenie hyperbolickej roviny prostredníctvom jej vplyvu na súčet uhlov v trojuholníkoch a štvorcoch.

V euklidovskej rovine by ich uhly tvorili súčet 450°, t. j. kruh a štvrť. Z toho vyplýva, že súčet uhlov trojuholníka v hyperbolickej rovine musí byť menší ako 180°. Ďalšou viditeľnou vlastnosťou je exponenciálny rast. V Obmedzení kruhu IV napríklad vidíme, že počet anjelov a démonov vo vzdialenosti n od stredu exponenciálne rastie. Démoni majú rovnakú hyperbolickú plochu, takže plocha gule s polomerom n musí rásť exponenciálne v n.

Existuje niekoľko spôsobov, ako fyzicky realizovať hyperbolickú rovinu (alebo jej aproximáciu). Obzvlášť známy je papierový model založený na pseudosfére, ktorý má na svedomí William Thurston. Na demonštráciu hyperbolických rovín sa využíva umenie háčkovania, pričom prvý takýto model vytvorila Daina Taimina. V roku 2000 Keith Henderson demonštroval rýchlo vyrobiteľný papierový model nazvaný "hyperbolická futbalová lopta".