Matematická analýza

Limity

Príkladom matematickej analýzy sú limity. Limity sa používajú na zistenie, čo sa deje v tesnej blízkosti vecí. Limity možno použiť aj na zistenie, čo sa stane, keď sa veci veľmi zväčšia. Napríklad 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} nikdy nie je nula, ale s rastúcim n sa 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} blíži k nule. Limita 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} je s rastúcim n nulová. Zvyčajne sa hovorí: "Limita 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}} , keď n ide do nekonečna, je nula". Píše sa to ako lim n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0} .

Náprotivok by bol 2 × n {\displaystyle {2}\times {n}} . Keď sa n {\displaystyle {n}} zväčšuje, limita ide do nekonečna. Zapíše sa ako lim n → ∞ 2 × n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty } .

Základnú vetu algebry možno dokázať na základe niektorých základných výsledkov komplexnej analýzy. Hovorí, že každý polynóm f ( x ) {\displayystyle f(x)} s reálnymi alebo komplexnými koeficientmi má komplexný koreň. Koreň je číslo x, ktoré dáva riešenie f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} . Niektoré z týchto koreňov môžu byť rovnaké.

Diferenciálny počet

Funkcia f ( x ) = m x + c {\displaystyle f(x)={m}{x}+{c}} je priamka. M {\displaystyle {m}} ukazuje sklon funkcie a c {\displaystyle {c}} ukazuje polohu funkcie na ordináte. Pri dvoch bodoch na priamke je možné vypočítať sklon m {\displaystyle {m}} pomocou:

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}} .

Funkcia v tvare f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} , ktorá nie je lineárna, sa nedá vypočítať tak, ako je uvedené vyššie. Sklon je možné vypočítať len pomocou dotyčníc a sekantov. Sekanta prechádza dvoma bodmi a keď sa tieto dva body priblížia, zmení sa na dotyčnicu.

Nový vzorec je m = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}} .

Nazýva sa to rozdielový kvocient. Hodnota x 1 {\displaystyle x_{1}} sa teraz priblíži k x 0 {\displaystyle x_{0}} . To sa dá vyjadriť nasledujúcim vzorcom:

f ′ ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 {\displaystyle f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}} .

Výsledok sa nazýva derivácia alebo sklon f v bode x {\displaystyle {x}} .

Integrácia

Integrácia sa týka výpočtu plôch.

Symbol ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}

sa číta ako "integrál funkcie f od a po b" a označuje plochu medzi osou x, grafom funkcie f a priamkami x=a a x=b. Bod a {\displaystyle a} je bod, kde by sa mala oblasť začínať, a bod b {\displaystyle b} je miesto, kde oblasť končí.

Niektoré témy analýzy sú:

• Kalkulačka
• Komplexná analýza
• Funkčná analýza
• Numerická analýza

Niektoré užitočné myšlienky pri analýze sú:

• Séria
• Sekvencie
• Deriváty
• Integrály