Distribúcia je pojem z algebry popisujúci, ako sa majú vykonávať binárne operácie v spojení s inými operáciami. Najznámejší a najjednoduchší prípad vidíme pri sčítaní a násobení čísel. Napríklad v aritmetike:

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), ale 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3).

Na ľavej strane prvej rovnice sa číslom 2 násobí súčet 1 a 3; na pravej strane sa násobí jednotlivo sčítané členy a výsledné súčiny sa potom sčítajú. Keďže obe strany dajú rovnaký výsledok (8), hovoríme, že násobenie čísel rozdeľuje sčítanie čísel. Pretože toto platí pre ľubovoľné reálne čísla, povieme, že násobenie reálnych čísel rozdeľuje sčítanie reálnych čísel.

Formálna definícia

Nech sú ⋆ a ∘ binárne operácie na množine M. Hovoríme, že ⋆ je distributívna vzhľadom na ∘ (alebo že ⋆ rozdeľuje ∘), ak pre všetky x, y, z ∈ M platí:

  • Pravostranná distribučnosť: (x ∘ y) ⋆ z = (x ⋆ z) ∘ (y ⋆ z)
  • Ľavostranná distribučnosť: x ⋆ (y ∘ z) = (x ⋆ y) ∘ (x ⋆ z)

V bežnej aritmetike sčítanie i násobenie sú definované na reálnych číslach, pričom násobenie je distribu­tívne vzhľadom na sčítanie, teda pre všetky a, b, c ∈ R platí

a(b + c) = ab + ac

a tiež (b + c)a = ba + ca (keďže násobenie čísel je komutatívne, ľavá aj pravá distribučnosť sú ekvivalentné).

Príklady

  • Algebraické rozšírenie: a(b + c + d) = ab + ac + ad.
  • Distribúcia cez odčítanie: a(b − c) = ab − ac (ide o rovnaký princíp, len so záporným členom).
  • Pri polynómoch: x(2x + 3) = 2x^2 + 3x.
  • Matice: násobenie matíc je distribu­tívne vzhľadom na sčítanie matíc: A(B + C) = AB + AC a (B + C)A = BA + CA. (Pozor: násobenie matíc nie je komutatívne.)
  • Boolovská algebra: AND aj OR si často rozdeľujú navzájom v špecifických vzťahoch (napr. a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)).

Neprípady a obmedzenia

  • Operácia delenia nie je distribu­tívna vzhľadom na sčítanie: 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3).
  • Exponentiácia väčšinou nie je distribu­tívna cez sčítanie: (a + b)^c ≠ a^c + b^c (okrem špeciálnych prípadov).
  • Distribúcia cez nekonečné sumy vyžaduje dodatočné podmienky (konvergenciu); nie vždy možno jednoducho „rozdeliť“ súčet nekonečného počtu členov.

Význam v algebre

Distribučnosť je jedna zo základných vlastností v algebraických štruktúrach. Napríklad axiomy prstenca vyžadujú, aby násobenie bolo distribu­tívne vzhľadom na sčítanie. Vďaka distribučnosti môžeme:

  • rozširovať zátvorky (expanzia výrazov),
  • faktorizovať spoločný činiteľ (obranná distribúcia): ab + ac = a(b + c),
  • zjednodušovať a upravovať výrazy pri riešení rovníc a pri práci s polynómami.

Krátky dôkaz (intuícia pre reálne čísla)

V rámci axiómovej definície reálnych čísel sú operácie sčítania a násobenia definované tak, že násobenie je lineárne v každom argumente; to je v praxi zodpovedá rozkladu súčtu na súčet súčinov. Formálny dôkaz vychádza z axiómov poľa a vlastností sčítania a násobenia (distributívny zákon je jedným z nich), preto ho tu uvádzame len ako konštruktívnu intuíciu: keď násobíme súčet, každé zložkové sa násobí zvlášť a výsledky sa spoja sčítaním.

Zhrnutie: Distribúcia je pravidlo, ktoré umožňuje „rozložiť“ jednu operáciu cez inú (najčastejšie násobenie cez sčítanie). Poznáme ľavú a pravú distribučnosť, v niektorých štruktúrach platia obe. Rozlišovanie distribu­tívnych a nedistribu­tívnych operácií pomáha pri úpravách výrazov, pri dôkaze vlastností algebraických štruktúr a pri riešení praktických úloh.