Uvažujme povrch S, na ktorom je definované skalárne pole f. Ak si predstavíme, že S je z nejakého materiálu, a pre každé x v S je číslo f(x) hustotou materiálu v x, potom povrchový integrál f nad S je hmotnosť na jednotku hrúbky S. (To platí len vtedy, ak je povrch nekonečne tenká škrupina.) Jedným z prístupov k výpočtu povrchového integrálu je potom rozdeliť povrch na mnoho veľmi malých častí, predpokladať, že na každej časti je hustota približne konštantná, nájsť hmotnosť na jednotku hrúbky každej časti vynásobením hustoty časti jej plochou a potom zrátať výsledné čísla, aby sme našli celkovú hmotnosť na jednotku hrúbky S.
Na nájdenie explicitného vzorca pre povrchový integrál matematici parametrizujú S tak, že na S uvažujú systém krivkových súradníc, ako sú zemepisná šírka a dĺžka na guli. Nech je takouto parametrizáciou x(s, t), kde (s, t) sa mení v nejakej oblasti T v rovine. Potom je povrchový integrál daný vzťahom
∫ S f d S = ∬ T f ( x ( s , t ) ) | ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t | d s d t {\displaystyle \int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\vpravo|ds\,dt} 
kde výraz medzi stĺpcami na pravej strane je veľkosť krížového súčinu parciálnych derivácií x(s, t).
Napríklad na zistenie plochy nejakého všeobecného funkčného tvaru, povedzme z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f\,(x,y)}
, máme
A = ∫ S d S = ∬ T ‖ ∂ r ∂ x × ∂ r ∂ y ‖ d x d y {\displaystyle A=\int _{S}\,dS=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|dx\,dy} 
kde r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y ) ) {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}
. Takže ∂ r ∂ x = ( 1 , 0 , f x ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))} 
a ∂ r ∂ y = ( 0 , 1 , f y ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}
. Takže,
A = ∬ T ‖ ( 1 , 0 , ∂ f ∂ x ) × ( 0 , 1 , ∂ f ∂ y ) ‖ d x d y = ∬ T ‖ ( - ∂ f ∂ x , - ∂ f ∂ y , 1 ) ‖ d x d y = ∬ T ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 + 1 d x d y {\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|dx\,dy\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|dx\,dy\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,dx\,dy\end{aligned}}} 
čo je vzorec, ktorý sa používa na určenie povrchu všeobecného funkčného tvaru. Vektor v druhom riadku vyššie môžeme rozpoznať ako normálový vektor k povrchu.
Všimnite si, že kvôli prítomnosti krížového súčinu fungujú uvedené vzorce len pre plochy vložené do trojrozmerného priestoru.
