Povrchový integrál (plošný integrál)

Uvažujme povrch S, na ktorom je definované skalárne pole f. Ak si predstavíme, že S je z nejakého materiálu, a pre každé x v S je číslo f(x) hustotou materiálu v x, potom povrchový integrál f nad S je hmotnosť na jednotku hrúbky S. (To platí len vtedy, ak je povrch nekonečne tenká škrupina.) Jedným z prístupov k výpočtu povrchového integrálu je potom rozdeliť povrch na mnoho veľmi malých častí, predpokladať, že na každej časti je hustota približne konštantná, nájsť hmotnosť na jednotku hrúbky každej časti vynásobením hustoty časti jej plochou a potom zrátať výsledné čísla, aby sme našli celkovú hmotnosť na jednotku hrúbky S.

Na nájdenie explicitného vzorca pre povrchový integrál matematici parametrizujú S tak, že na S uvažujú systém krivkových súradníc, ako sú zemepisná šírka a dĺžka na guli. Nech je takouto parametrizáciou x(s, t), kde (s, t) sa mení v nejakej oblasti T v rovine. Potom je povrchový integrál daný vzťahom

∫ S f d S = ∬ T f ( x ( s , t ) ) | ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t | d s d t {\displaystyle \int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\vpravo|ds\,dt}

kde výraz medzi stĺpcami na pravej strane je veľkosť krížového súčinu parciálnych derivácií x(s, t).

Napríklad na zistenie plochy nejakého všeobecného funkčného tvaru, povedzme z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f\,(x,y)} , máme

A = ∫ S d S = ∬ T ‖ ∂ r ∂ x × ∂ r ∂ y ‖ d x d y {\displaystyle A=\int _{S}\,dS=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|dx\,dy}

kde r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y ) ) {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))} . Takže ∂ r ∂ x = ( 1 , 0 , f x ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))} a ∂ r ∂ y = ( 0 , 1 , f y ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))} . Takže,

A = ∬ T ‖ ( 1 , 0 , ∂ f ∂ x ) × ( 0 , 1 , ∂ f ∂ y ) ‖ d x d y = ∬ T ‖ ( - ∂ f ∂ x , - ∂ f ∂ y , 1 ) ‖ d x d y = ∬ T ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 + 1 d x d y {\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|dx\,dy\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|dx\,dy\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,dx\,dy\end{aligned}}}

čo je vzorec, ktorý sa používa na určenie povrchu všeobecného funkčného tvaru. Vektor v druhom riadku vyššie môžeme rozpoznať ako normálový vektor k povrchu.

Všimnite si, že kvôli prítomnosti krížového súčinu fungujú uvedené vzorce len pre plochy vložené do trojrozmerného priestoru.

Uvažujme vektorové pole v na S, to znamená, že pre každé x v S je v(x) vektor.

Povrchový integrál možno definovať komponentne podľa definície povrchového integrálu skalárneho poľa; výsledkom je vektor. To platí napríklad pre elektrické pole v určitom pevnom bode spôsobené elektricky nabitým povrchom alebo pre gravitáciu v určitom pevnom bode spôsobenú plátom materiálu. Možno ním vypočítať aj magnetický tok prechádzajúci povrchom.

Matematici môžu tiež integrovať normálovú zložku vektorového poľa; výsledkom je skalár. Príkladom je kvapalina prúdiaca cez S, pričom v(x) určuje rýchlosť kvapaliny v bode x. Tok je definovaný ako množstvo kvapaliny, ktoré pretečie cez S za jednotku času.

Z tohto znázornenia vyplýva, že ak je vektorové pole v každom bode dotyčnicou k S, potom je tok nulový, pretože kvapalina prúdi len rovnobežne s S, a nie dovnútra ani von. Z toho tiež vyplýva, že ak v netečie len pozdĺž S, t. j. ak v má tangenciálnu aj normálovú zložku, potom k toku prispieva len normálová zložka. Na základe tejto úvahy, aby sme našli tok, musíme v každom bode urobiť bodový súčin v s jednotkovou povrchovou normálou k S, čím získame skalárne pole, a získané pole integrovať, ako je uvedené vyššie. To dáva vzorec

∫ S v ⋅ d S = ∫ S ( v ⋅ n ) d S = ∬ T v ( x ( s , t ) ) ⋅ ( ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t ) d s d t . {\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })\,dS=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\pravo)ds\,dt. }

Krížový súčin na pravej strane tohto výrazu je normála povrchu určená parametrizáciou.

Tento vzorec definuje integrál na ľavej strane (všimnite si bodku a vektorový zápis pre prvok plochy).

Pomocou diferenciálnej geometrie a vektorového počtu možno odvodiť rôzne užitočné výsledky pre plošné integrály, ako napríklad vetu o divergencii a jej zovšeobecnenie, Stokesovu vetu.

Zmena parametrizácie

V predchádzajúcej diskusii bol definovaný plošný integrál pomocou parametrizácie povrchu S. Daný povrch môže mať niekoľko parametrizácií. Napríklad, keď sa na guli posunú polohy severného a južného pólu, zmení sa zemepisná šírka a dĺžka pre všetky body na guli. Prirodzenou otázkou potom je, či definícia plošného integrálu závisí od zvolenej parametrizácie. V prípade integrálov skalárnych polí je odpoveď na túto otázku jednoduchá, hodnota plošného integrálu bude rovnaká bez ohľadu na to, akú parametrizáciu použijeme.

Integrály vektorových polí sú komplikovanejšie, pretože sa do nich zapája normála povrchu. Matematici dokázali, že pri dvoch parametrizáciách toho istého povrchu, ktorých povrchové normály smerujú rovnakým smerom, dávajú obe parametrizácie rovnakú hodnotu povrchového integrálu. Ak však normály týchto parametrizácií smerujú do opačných smerov, hodnota plošného integrálu získaná pomocou jednej parametrizácie je záporná oproti hodnote získanej pomocou druhej parametrizácie. Z toho vyplýva, že pri danom povrchu sa nemusíme držať žiadnej jedinečnej parametrizácie, ale pri integrácii vektorových polí sa musíme vopred rozhodnúť, do ktorého smeru bude smerovať normála, a potom zvoliť ľubovoľnú parametrizáciu, ktorá je s týmto smerom v súlade.

Parametrizácie pracujú na častiach povrchu

Ďalším problémom je, že niekedy povrchy nemajú parametre, ktoré by pokrývali celý povrch; to platí napríklad pre povrch valca (s konečnou výškou). Zrejmým riešením je potom rozdeliť tento povrch na niekoľko častí, vypočítať povrchový integrál na každej časti a potom ich všetky sčítať. Takto to skutočne funguje, ale pri integrácii vektorových polí treba opäť dbať na to, ako zvoliť normálový bodový vektor pre každý kúsok povrchu, aby boli výsledky po opätovnom zložení týchto kúskov konzistentné. Pre valec to znamená, že ak sa rozhodneme, že pre bočnú oblasť bude normála smerovať von z telesa, potom pre hornú a dolnú kruhovú časť musí normála smerovať tiež von z telesa.

Nekonzistentné normály povrchu

Napokon, existujú plochy, ktoré nemajú v každom bode normálu povrchu s konzistentnými výsledkami (napríklad Möbiov pás). Ak sa takýto povrch rozdelí na časti, na každej časti sa zvolí parametrizácia a zodpovedajúca normála povrchu a časti sa opäť spoja, normálové vektory pochádzajúce z rôznych častí sa nedajú zosúladiť. To znamená, že na niektorých spojniciach medzi dvoma kusmi budú normálové vektory smerovať opačným smerom. Takýto povrch sa nazýva neorientovateľný. Vektorové polia nemožno integrovať na neorientovateľných plochách.

• Veta o divergencii
• Stokesova veta
• Riadkový integrál
• Objemový integrál
• Karteziánsky súradnicový systém
• Prvky objemu a povrchu v sférickom súradnicovom systéme
• Prvky objemu a povrchu vo valcovom súradnicovom systéme
• Holstein-Herringova metóda