Schrödingerova rovnica

Schrödingerova rovnica je diferenciálna rovnica (typ rovnice, ktorá zahŕňa skôr neznámu funkciu ako neznáme číslo), ktorá tvorí základ kvantovej mechaniky, jednej z najpresnejších teórií správania sa subatomárnych častíc. Je to matematická rovnica, ktorú v roku 1925 vymyslel Erwin Schrödinger. Definuje vlnovú funkciu častice alebo systému (skupiny častíc), ktorá má určitú hodnotu v každom bode priestoru pre každý daný čas. Tieto hodnoty nemajú žiadny fyzikálny význam (v skutočnosti sú matematicky zložité), napriek tomu vlnová funkcia obsahuje všetky informácie, ktoré možno o častici alebo systéme zistiť. Tieto informácie sa dajú zistiť matematickou manipuláciou s vlnovou funkciou, ktorá vráti reálne hodnoty týkajúce sa fyzikálnych vlastností, ako je poloha, hybnosť, energia atď. Vlnovú funkciu si možno predstaviť ako obraz toho, ako sa táto častica alebo systém správa v čase, a opisuje ju čo najúplnejšie.

Vlnová funkcia sa môže nachádzať v rôznych stavoch naraz, a tak môže mať častica súčasne viacero rôznych polôh, energií, rýchlostí alebo iných fyzikálnych vlastností (t. j. "byť na dvoch miestach naraz"). Keď sa však meria jedna z týchto vlastností, má len jednu konkrétnu hodnotu (ktorú nemožno s určitosťou predpovedať), a vlnová funkcia sa preto nachádza len v jednom konkrétnom stave. Tento jav sa nazýva kolaps vlnovej funkcie a zdá sa, že je spôsobený aktom pozorovania alebo merania. O presnej príčine a interpretácii kolapsu vlnovej funkcie sa vo vedeckej komunite stále vedú rozsiahle diskusie.

Pre jednu časticu, ktorá sa v priestore pohybuje len jedným smerom, vyzerá Schrödingerova rovnica takto:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)$

kde i {\displaystyle i} $i$ je odmocnina z -1, ℏ {\displaystyle \hbar } $\hbar$ je redukovaná Planckova konštanta, t {\displaystyle t} $t$ je čas, x {\displaystyle x} je poloha, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)} $\Psi (x,\,t)$ je vlnová funkcia a V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ je potenciálna energia, zatiaľ nezvolená funkcia polohy. Ľavá strana je ekvivalentná Hamiltonovmu operátoru energie pôsobiacemu na Ψ {\displaystyle \Psi } $\Psi$ .

Busta Erwina Schrödingera na Viedenskej univerzite. Zobrazuje aj Schrödingerovu rovnicu.

Časovo nezávislá verzia

Predpokladajme, že vlnová funkcia Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} $\Psi (x,t)$ , je oddeliteľná, t. j. za predpokladu, že funkciu dvoch premenných možno zapísať ako súčin dvoch rôznych funkcií jednej premennej:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)} $\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)$

potom pomocou štandardných matematických techník parciálnych diferenciálnych rovníc možno ukázať, že vlnovú rovnicu možno prepísať ako dve rôzne diferenciálne rovnice

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)} $i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)$

- ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)$

kde prvá rovnica závisí výlučne od času T ( t ) {\displaystyle T(t)} $T(t)$ a druhá rovnica závisí len od polohy ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} $\psi (x)$ a kde E {\displaystyle E} $E$ je len číslo. Prvú rovnicu možno vyriešiť okamžite a dostaneme

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}} $T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

kde e {\displaystyle e} $e$ je Eulerovo číslo. Riešenia druhej rovnice závisia od funkcie potenciálnej energie V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ , a preto ich nemožno vyriešiť, kým nie je daná táto funkcia. Pomocou kvantovej mechaniky možno ukázať, že číslo E {\displaystyle E} $E$ je vlastne energia systému, takže tieto oddeliteľné vlnové funkcie opisujú systémy s konštantnou energiou. Keďže v mnohých dôležitých fyzikálnych systémoch (napríklad: elektrón v atóme) je energia konštantná, často sa používa druhá rovnica z vyššie uvedeného súboru separovaných diferenciálnych rovníc. Táto rovnica je známa ako časovo nezávislá Schrödingerova rovnica, pretože nezahŕňa t {\displaystyle t} $t$ .

Interpretácie vlnovej funkcie

Interpretácia Born

Existuje mnoho filozofických výkladov vlnovej funkcie a na tomto mieste sa budeme zaoberať niekoľkými hlavnými myšlienkami. Hlavná myšlienka, nazývaná Bornova pravdepodobnostná interpretácia (pomenovaná podľa fyzika Maxa Borna), vychádza z jednoduchej myšlienky, že vlnová funkcia je štvorcovo integrovateľná, t. j.

∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty$

Tento pomerne jednoduchý vzorec má veľký fyzikálny význam. Born predpokladal, že uvedený integrál určuje, že častica existuje niekde v priestore. Ako ju však môžeme nájsť? Použijeme integrál

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)} $\int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)$

kde P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)} je pravdepodobnosť $P(b<x<a)$ nájdenia častice v oblasti od b {\displaystyle b} po a {\displaystyle $b$ a} . Inými slovami, všetko, čo možno o častici vo všeobecnosti vopred vedieť, sú pravdepodobnosti, priemery a iné štatistické veličiny spojené s jej fyzikálnymi veličinami (poloha, hybnosť atď.). V podstate ide o Bornovu interpretáciu.

Kodaňská interpretácia

Uvedené myšlienky možno rozšíriť. Keďže Bornov výklad hovorí, že skutočnú polohu častice nemožno poznať, môžeme odvodiť nasledujúce. Ak Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\Psi _{n}} $\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}$ sú riešenia vlnovej rovnice, potom superpozícia týchto riešení, t. j.

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n} $\Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}$

je tiež riešením. To znamená, že častica existuje v každej možnej polohe. Keď príde pozorovateľ a zmeria polohu častice, potom sa superpozícia zredukuje na jedinú možnú vlnovú funkciu. (t. j. Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}}. $\Psi _{s}$ → Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ kde Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ je niektorý z možných stavov vlnovej funkcie.) Z tejto myšlienky, že polohu častice nemožno presne poznať a že častica existuje vo viacerých polohách súčasne, vyplýva princíp neurčitosti. Matematickú formuláciu tohto princípu možno vyjadriť takto

Δ x Δ p > ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}} $\Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}$

Kde Δ x {\displaystyle \Delta x} $\Delta x$ je neistota polohy a Δ p {\displaystyle \Delta p} $\Delta p$ je neistota hybnosti. Tento princíp sa dá matematicky odvodiť z Fourierových transformácií medzi hybnosťou a polohou, ako ich definuje kvantová mechanika, ale v tomto článku ho nebudeme odvodzovať.

Iné výklady

Existujú aj iné interpretácie, napríklad interpretácia mnohých svetov a kvantový determinizmus.

Otázky a odpovede

Otázka: Čo je to Schrödingerova rovnica?

Odpoveď: Schrödingerova rovnica je diferenciálna rovnica, ktorá tvorí základ kvantovej mechaniky a ktorú v roku 1925 vymyslel Erwin Schrödinger. Definuje vlnovú funkciu častice alebo systému, ktorá má určitú hodnotu v každom bode priestoru pre každý daný čas.

Otázka: Akú informáciu možno zistiť z manipulácie s vlnovou funkciou?

Odpoveď: Matematickou manipuláciou s vlnovou funkciou možno zistiť skutočné hodnoty týkajúce sa fyzikálnych vlastností, ako sú poloha, hybnosť, energia atď.

Otázka: Čo znamená, keď častica môže mať súčasne mnoho rôznych polôh, energií, rýchlostí alebo iných fyzikálnych vlastností?

Odpoveď: Znamená to, že vlnová funkcia môže byť súčasne v niekoľkých rôznych stavoch, a teda častica môže mať súčasne mnoho rôznych polôh, energií, rýchlostí alebo iných fyzikálnych vlastností (t. j. "byť súčasne na dvoch miestach").

Otázka: Čo je kolaps vlnovej funkcie?

Odpoveď: Kolaps vlnovej funkcie znamená, že keď sa meria jedna z týchto vlastností, má len jednu konkrétnu hodnotu (ktorú nemožno s určitosťou predpovedať), a vlnová funkcia je teda len v jednom konkrétnom stave. Zdá sa, že je to spôsobené aktom pozorovania alebo merania.

Otázka: Aké sú niektoré zložky Schrödingerovej rovnice?

Odpoveď: Medzi zložky Schrödingerovej rovnice patrí i, ktoré sa rovná druhej odmocnine -1; ℏ, ktoré predstavuje redukovanú Planckovu konštantu; t, ktoré znamená čas; x, ktoré predstavuje polohu; Ψ (x , t), ktoré znamená vlnové funkcie; a V(x), ktoré predstavuje potenciálnu energiu ako zatiaľ nezvolenú funkciu polohy.

Otázka: Ako interpretujeme kolaps vlnovej funkcie?

Odpoveď: O presnej príčine a interpretácii kolapsu vlnovej funkcie sa vo vedeckej komunite stále vedú rozsiahle diskusie.